Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119290 / 117238
↖ ↑ ↗
← S 80.411133°
E147.639770°		 ← 50.88 m → S 80.411133°
E147.642517°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.411591°
E147.639770°		 ← 50.87 m →
2 590 m²		 S 80.411591°
E147.642517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910114288330078 y=0.894458770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910114288330078 × 217)
    floor (0.910114288330078 × 131072)
    floor (119290.5)     		tx = 119290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894458770751953 × 217)
    floor (0.894458770751953 × 131072)
    floor (117238.5)     		ty = 117238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119290 / 117238 ti = "17/119290/117238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119290/117238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119290 ÷ 217
    119290 ÷ 131072     		x = 0.910110473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117238 ÷ 217
    117238 ÷ 131072     		y = 0.894454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910110473632812 × 2 - 1) × π
    0.820220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57680010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.788909912109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47843358415614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57680010} λ = 2.57680010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47843358415614))-π/2
    2×atan(0.0838745050998867)-π/2
    2×0.0836786473151494-π/2
    0.167357294630299-1.57079632675     		φ = -1.40343903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57680010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.639770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40343903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.411133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119290 KachelY 117238 2.57680010 -1.40343903 147.639770 -80.411133
    Oben rechts KachelX + 1 119291 KachelY 117238 2.57684804 -1.40343903 147.642517 -80.411133
    Unten links KachelX 119290 KachelY + 1 117239 2.57680010 -1.40344702 147.639770 -80.411591
    Unten rechts KachelX + 1 119291 KachelY + 1 117239 2.57684804 -1.40344702 147.642517 -80.411591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40343903--1.40344702) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40343903--1.40344702) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57680010-2.57684804) × cos(-1.40343903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166577153302006 × 6371000     		do = 50.8769503143253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57680010-2.57684804) × cos(-1.40344702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166569274929585 × 6371000     		du = 50.8745440565986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40343903)-sin(-1.40344702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166577153302006-0.166569274929585)×R²
    abs(2.57684804-2.57680010)×7.87837242108291e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87837242108291e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87837242108291e-06×40589641000000     		ar = 2589.79378890102m²