Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11929 / 13735
↖ ↑ ↗
← N 27.926474°
W 48.944092°		 ← 1 079.38 m → N 27.926474°
W 48.933105°		 →
↑
1 079.44 m
↓
↑
1 079.44 m
↓
N 27.916766°
W 48.944092°		 ← 1 079.48 m →
1 165 175 m²		 N 27.916766°
W 48.933105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364059448242188 y=0.419174194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364059448242188 × 215)
    floor (0.364059448242188 × 32768)
    floor (11929.5)     		tx = 11929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419174194335938 × 215)
    floor (0.419174194335938 × 32768)
    floor (13735.5)     		ty = 13735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11929 / 13735 ti = "15/11929/13735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11929/13735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11929 ÷ 215
    11929 ÷ 32768     		x = 0.364044189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13735 ÷ 215
    13735 ÷ 32768     		y = 0.419158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364044189453125 × 2 - 1) × π
    -0.27191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85423555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    0.16168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.507939388374115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85423555} λ = -0.85423555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507939388374115))-π/2
    2×atan(1.66186320963526)-π/2
    2×1.02910262362522-π/2
    2.05820524725044-1.57079632675     		φ = 0.48740892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85423555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.944092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48740892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.926474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11929 KachelY 13735 -0.85423555 0.48740892 -48.944092 27.926474
    Oben rechts KachelX + 1 11930 KachelY 13735 -0.85404380 0.48740892 -48.933105 27.926474
    Unten links KachelX 11929 KachelY + 1 13736 -0.85423555 0.48723949 -48.944092 27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 11930 KachelY + 1 13736 -0.85404380 0.48723949 -48.933105 27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48740892-0.48723949) × R
    0.000169430000000026 × 6371000     		dl = 1079.43853000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48740892-0.48723949) × R
    0.000169430000000026 × 6371000     		dr = 1079.43853000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85423555--0.85404380) × cos(0.48740892) × R
    0.000191749999999935 × 0.883549324716522 × 6371000     		do = 1079.37853438433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85423555--0.85404380) × cos(0.48723949) × R
    0.000191749999999935 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 1079.47545660953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48740892)-sin(0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883549324716522-0.883628662561301)×R²
    abs(-0.85404380--0.85423555)×7.93378447797588e-05×R²
    0.000191749999999935×7.93378447797588e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.93378447797588e-05×40589641000000     		ar = 1165175.09204905m²