Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119289 / 117241
↖ ↑ ↗
← S 80.412506°
E147.637024°		 ← 50.86 m → S 80.412506°
E147.639770°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
S 80.412963°
E147.637024°		 ← 50.86 m →
2 586 m²		 S 80.412963°
E147.639770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910106658935547 y=0.894481658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910106658935547 × 217)
    floor (0.910106658935547 × 131072)
    floor (119289.5)     		tx = 119289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894481658935547 × 217)
    floor (0.894481658935547 × 131072)
    floor (117241.5)     		ty = 117241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119289 / 117241 ti = "17/119289/117241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119289/117241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119289 ÷ 217
    119289 ÷ 131072     		x = 0.910102844238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117241 ÷ 217
    117241 ÷ 131072     		y = 0.894477844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910102844238281 × 2 - 1) × π
    0.820205688476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.57675217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894477844238281 × 2 - 1) × π
    -0.788955688476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.478577394855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57675217} λ = 2.57675217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.478577394855))-π/2
    2×atan(0.0838624439159762)-π/2
    2×0.0836666703760824-π/2
    0.167333340752165-1.57079632675     		φ = -1.40346299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57675217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.637024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40346299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.412506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119289 KachelY 117241 2.57675217 -1.40346299 147.637024 -80.412506
    Oben rechts KachelX + 1 119290 KachelY 117241 2.57680010 -1.40346299 147.639770 -80.412506
    Unten links KachelX 119289 KachelY + 1 117242 2.57675217 -1.40347097 147.637024 -80.412963
    Unten rechts KachelX + 1 119290 KachelY + 1 117242 2.57680010 -1.40347097 147.639770 -80.412963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40346299--1.40347097) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40346299--1.40347097) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57675217-2.57680010) × cos(-1.40346299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166553528013166 × 6371000     		do = 50.8591234177935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57675217-2.57680010) × cos(-1.40347097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166545659469196 × 6371000     		du = 50.8567206632335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40346299)-sin(-1.40347097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166553528013166-0.166545659469196)×R²
    abs(2.57680010-2.57675217)×7.8685439702797e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.8685439702797e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.8685439702797e-06×40589641000000     		ar = 2585.64625425298m²