Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119283 / 117215
↖ ↑ ↗
← S 80.400605°
E147.620544°		 ← 50.93 m → S 80.400605°
E147.623291°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
S 80.401063°
E147.620544°		 ← 50.93 m →
2 596 m²		 S 80.401063°
E147.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910060882568359 y=0.894283294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910060882568359 × 217)
    floor (0.910060882568359 × 131072)
    floor (119283.5)     		tx = 119283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894283294677734 × 217)
    floor (0.894283294677734 × 131072)
    floor (117215.5)     		ty = 117215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119283 / 117215 ti = "17/119283/117215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119283/117215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119283 ÷ 217
    119283 ÷ 131072     		x = 0.910057067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117215 ÷ 217
    117215 ÷ 131072     		y = 0.894279479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910057067871094 × 2 - 1) × π
    0.820114135742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.57646454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894279479980469 × 2 - 1) × π
    -0.788558959960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.47733103546488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57646454} λ = 2.57646454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47733103546488))-π/2
    2×atan(0.083967031823951)-π/2
    2×0.0837705269588081-π/2
    0.167541053917616-1.57079632675     		φ = -1.40325527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57646454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.620544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40325527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.400605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119283 KachelY 117215 2.57646454 -1.40325527 147.620544 -80.400605
    Oben rechts KachelX + 1 119284 KachelY 117215 2.57651248 -1.40325527 147.623291 -80.400605
    Unten links KachelX 119283 KachelY + 1 117216 2.57646454 -1.40326327 147.620544 -80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 119284 KachelY + 1 117216 2.57651248 -1.40326327 147.623291 -80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40325527--1.40326327) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40325527--1.40326327) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57646454-2.57651248) × cos(-1.40325527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166758343071626 × 6371000     		do = 50.9322903337919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57646454-2.57651248) × cos(-1.40326327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 50.9298811393087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40325527)-sin(-1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166758343071626-0.166750455083917)×R²
    abs(2.57651248-2.57646454)×7.88798770948174e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88798770948174e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88798770948174e-06×40589641000000     		ar = 2595.85557786701m²