Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119282 / 117264
↖ ↑ ↗
← S 80.423022°
E147.617798°		 ← 50.80 m → S 80.423022°
E147.620544°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
S 80.423478°
E147.617798°		 ← 50.80 m →
2 580 m²		 S 80.423478°
E147.620544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910053253173828 y=0.894657135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910053253173828 × 217)
    floor (0.910053253173828 × 131072)
    floor (119282.5)     		tx = 119282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894657135009766 × 217)
    floor (0.894657135009766 × 131072)
    floor (117264.5)     		ty = 117264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119282 / 117264 ti = "17/119282/117264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119282/117264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119282 ÷ 217
    119282 ÷ 131072     		x = 0.910049438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117264 ÷ 217
    117264 ÷ 131072     		y = 0.8946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910049438476562 × 2 - 1) × π
    0.820098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57641661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47967994354626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57641661} λ = 2.57641661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47967994354626))-π/2
    2×atan(0.0837700324416271)-π/2
    2×0.0835749035783968-π/2
    0.167149807156794-1.57079632675     		φ = -1.40364652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57641661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.617798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40364652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.423022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119282 KachelY 117264 2.57641661 -1.40364652 147.617798 -80.423022
    Oben rechts KachelX + 1 119283 KachelY 117264 2.57646454 -1.40364652 147.620544 -80.423022
    Unten links KachelX 119282 KachelY + 1 117265 2.57641661 -1.40365449 147.617798 -80.423478
    Unten rechts KachelX + 1 119283 KachelY + 1 117265 2.57646454 -1.40365449 147.620544 -80.423478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40364652--1.40365449) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dl = 50.7768700012126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40364652--1.40365449) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dr = 50.7768700012126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57641661-2.57646454) × cos(-1.40364652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166372558680129 × 6371000     		do = 50.8038622548894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57641661-2.57646454) × cos(-1.40365449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166364699753011 × 6371000     		du = 50.8014624369509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40364652)-sin(-1.40365449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166372558680129-0.166364699753011)×R²
    abs(2.57646454-2.57641661)×7.85892711835379e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.85892711835379e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.85892711835379e-06×40589641000000     		ar = 2579.60018160534m²