Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119281 / 117229
↖ ↑ ↗
← S 80.407015°
E147.615051°		 ← 50.90 m → S 80.407015°
E147.617798°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.407473°
E147.615051°		 ← 50.90 m →
2 591 m²		 S 80.407473°
E147.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910045623779297 y=0.894390106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910045623779297 × 217)
    floor (0.910045623779297 × 131072)
    floor (119281.5)     		tx = 119281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894390106201172 × 217)
    floor (0.894390106201172 × 131072)
    floor (117229.5)     		ty = 117229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119281 / 117229 ti = "17/119281/117229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119281/117229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119281 ÷ 217
    119281 ÷ 131072     		x = 0.910041809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117229 ÷ 217
    117229 ÷ 131072     		y = 0.894386291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910041809082031 × 2 - 1) × π
    0.820083618164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.57636867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894386291503906 × 2 - 1) × π
    -0.788772583007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.47800215205956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57636867} λ = 2.57636867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47800215205956))-π/2
    2×atan(0.0839106990605284)-π/2
    2×0.0837145883240918-π/2
    0.167429176648184-1.57079632675     		φ = -1.40336715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57636867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.615051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40336715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.407015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119281 KachelY 117229 2.57636867 -1.40336715 147.615051 -80.407015
    Oben rechts KachelX + 1 119282 KachelY 117229 2.57641661 -1.40336715 147.617798 -80.407015
    Unten links KachelX 119281 KachelY + 1 117230 2.57636867 -1.40337514 147.615051 -80.407473
    Unten rechts KachelX + 1 119282 KachelY + 1 117230 2.57641661 -1.40337514 147.617798 -80.407473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40336715--1.40337514) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40336715--1.40337514) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57636867-2.57641661) × cos(-1.40336715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166648028594698 × 6371000     		do = 50.8985974530434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57636867-2.57641661) × cos(-1.40337514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166640150317964 × 6371000     		du = 50.896191224542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40336715)-sin(-1.40337514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166648028594698-0.166640150317964)×R²
    abs(2.57641661-2.57636867)×7.87827673420782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87827673420782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87827673420782e-06×40589641000000     		ar = 2590.89572173521m²