Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119278 / 117202
↖ ↑ ↗
← S 80.394649°
E147.606812°		 ← 50.96 m → S 80.394649°
E147.609558°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
S 80.395107°
E147.606812°		 ← 50.96 m →
2 597 m²		 S 80.395107°
E147.609558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910022735595703 y=0.894184112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910022735595703 × 217)
    floor (0.910022735595703 × 131072)
    floor (119278.5)     		tx = 119278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894184112548828 × 217)
    floor (0.894184112548828 × 131072)
    floor (117202.5)     		ty = 117202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119278 / 117202 ti = "17/119278/117202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119278/117202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119278 ÷ 217
    119278 ÷ 131072     		x = 0.910018920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117202 ÷ 217
    117202 ÷ 131072     		y = 0.894180297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910018920898438 × 2 - 1) × π
    0.820037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57622486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894180297851562 × 2 - 1) × π
    -0.788360595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47670785576982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57622486} λ = 2.57622486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47670785576982))-π/2
    2×atan(0.0840193746810471)-π/2
    2×0.0838225031313659-π/2
    0.167645006262732-1.57079632675     		φ = -1.40315132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57622486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.606812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40315132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.394649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119278 KachelY 117202 2.57622486 -1.40315132 147.606812 -80.394649
    Oben rechts KachelX + 1 119279 KachelY 117202 2.57627280 -1.40315132 147.609558 -80.394649
    Unten links KachelX 119278 KachelY + 1 117203 2.57622486 -1.40315932 147.606812 -80.395107
    Unten rechts KachelX + 1 119279 KachelY + 1 117203 2.57627280 -1.40315932 147.609558 -80.395107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40315132--1.40315932) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40315132--1.40315932) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57622486-2.57627280) × cos(-1.40315132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166860836641442 × 6371000     		do = 50.9635945081982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57622486-2.57627280) × cos(-1.40315932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166852948792448 × 6371000     		du = 50.9611853560822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40315132)-sin(-1.40315932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166860836641442-0.166852948792448)×R²
    abs(2.57627280-2.57622486)×7.88784899388717e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88784899388717e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88784899388717e-06×40589641000000     		ar = 2597.45109009854m²