Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119276 / 117234
↖ ↑ ↗
← S 80.409303°
E147.601319°		 ← 50.88 m → S 80.409303°
E147.604065°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
S 80.409760°
E147.601319°		 ← 50.87 m →
2 587 m²		 S 80.409760°
E147.604065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910007476806641 y=0.894428253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910007476806641 × 217)
    floor (0.910007476806641 × 131072)
    floor (119276.5)     		tx = 119276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894428253173828 × 217)
    floor (0.894428253173828 × 131072)
    floor (117234.5)     		ty = 117234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119276 / 117234 ti = "17/119276/117234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119276/117234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119276 ÷ 217
    119276 ÷ 131072     		x = 0.910003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117234 ÷ 217
    117234 ÷ 131072     		y = 0.894424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910003662109375 × 2 - 1) × π
    0.82000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57612899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.788848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47824183655766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57612899} λ = 2.57612899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47824183655766))-π/2
    2×atan(0.0838905893768248)-π/2
    2×0.0836946192093398-π/2
    0.16738923841868-1.57079632675     		φ = -1.40340709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57612899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.601319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40340709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.409303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119276 KachelY 117234 2.57612899 -1.40340709 147.601319 -80.409303
    Oben rechts KachelX + 1 119277 KachelY 117234 2.57617692 -1.40340709 147.604065 -80.409303
    Unten links KachelX 119276 KachelY + 1 117235 2.57612899 -1.40341507 147.601319 -80.409760
    Unten rechts KachelX + 1 119277 KachelY + 1 117235 2.57617692 -1.40341507 147.604065 -80.409760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40340709--1.40341507) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40340709--1.40341507) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57612899-2.57617692) × cos(-1.40340709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		do = 50.8759546527803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57612899-2.57617692) × cos(-1.40341507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166600778495217 × 6371000     		du = 50.8735519209109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40340709)-sin(-1.40341507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16660864696488-0.166600778495217)×R²
    abs(2.57617692-2.57612899)×7.86846966321919e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.86846966321919e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.86846966321919e-06×40589641000000     		ar = 2586.50196449887m²