Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119271 / 117223
↖ ↑ ↗
← S 80.404268°
E147.587585°		 ← 50.91 m → S 80.404268°
E147.590332°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.404726°
E147.587585°		 ← 50.91 m →
2 592 m²		 S 80.404726°
E147.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909969329833984 y=0.894344329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909969329833984 × 217)
    floor (0.909969329833984 × 131072)
    floor (119271.5)     		tx = 119271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894344329833984 × 217)
    floor (0.894344329833984 × 131072)
    floor (117223.5)     		ty = 117223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119271 / 117223 ti = "17/119271/117223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119271/117223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119271 ÷ 217
    119271 ÷ 131072     		x = 0.909965515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117223 ÷ 217
    117223 ÷ 131072     		y = 0.894340515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909965515136719 × 2 - 1) × π
    0.819931030273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57588930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894340515136719 × 2 - 1) × π
    -0.788681030273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.47771453066184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57588930} λ = 2.57588930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47771453066184))-π/2
    2×atan(0.0839348370442098)-π/2
    2×0.0837385574921782-π/2
    0.167477114984356-1.57079632675     		φ = -1.40331921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57588930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.587585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40331921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.404268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119271 KachelY 117223 2.57588930 -1.40331921 147.587585 -80.404268
    Oben rechts KachelX + 1 119272 KachelY 117223 2.57593724 -1.40331921 147.590332 -80.404268
    Unten links KachelX 119271 KachelY + 1 117224 2.57588930 -1.40332720 147.587585 -80.404726
    Unten rechts KachelX + 1 119272 KachelY + 1 117224 2.57593724 -1.40332720 147.590332 -80.404726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40331921--1.40332720) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40331921--1.40332720) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57588930-2.57593724) × cos(-1.40331921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16669529803167 × 6371000     		do = 50.9130347558099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57588930-2.57593724) × cos(-1.40332720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166687419818776 × 6371000     		du = 50.910628546807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40331921)-sin(-1.40332720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16669529803167-0.166687419818776)×R²
    abs(2.57593724-2.57588930)×7.87821289369162e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87821289369162e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87821289369162e-06×40589641000000     		ar = 2591.63064297672m²