Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119269 / 117222
↖ ↑ ↗
← S 80.403810°
E147.582092°		 ← 50.90 m → S 80.403810°
E147.584839°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.404268°
E147.582092°		 ← 50.90 m →
2 591 m²		 S 80.404268°
E147.584839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909954071044922 y=0.894336700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909954071044922 × 217)
    floor (0.909954071044922 × 131072)
    floor (119269.5)     		tx = 119269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894336700439453 × 217)
    floor (0.894336700439453 × 131072)
    floor (117222.5)     		ty = 117222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119269 / 117222 ti = "17/119269/117222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119269/117222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119269 ÷ 217
    119269 ÷ 131072     		x = 0.909950256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117222 ÷ 217
    117222 ÷ 131072     		y = 0.894332885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909950256347656 × 2 - 1) × π
    0.819900512695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.57579343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894332885742188 × 2 - 1) × π
    -0.788665771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47766659376222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57579343} λ = 2.57579343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47766659376222))-π/2
    2×atan(0.0839388607165082)-π/2
    2×0.0837425530144457-π/2
    0.167485106028891-1.57079632675     		φ = -1.40331122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57579343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.582092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40331122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.403810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119269 KachelY 117222 2.57579343 -1.40331122 147.582092 -80.403810
    Oben rechts KachelX + 1 119270 KachelY 117222 2.57584136 -1.40331122 147.584839 -80.403810
    Unten links KachelX 119269 KachelY + 1 117223 2.57579343 -1.40331921 147.582092 -80.404268
    Unten rechts KachelX + 1 119270 KachelY + 1 117223 2.57584136 -1.40331921 147.584839 -80.404268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40331122--1.40331921) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40331122--1.40331921) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57579343-2.57584136) × cos(-1.40331122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166703176233922 × 6371000     		do = 50.9048203022693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57579343-2.57584136) × cos(-1.40331921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16669529803167 × 6371000     		du = 50.9024145984369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40331122)-sin(-1.40331921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166703176233922-0.16669529803167)×R²
    abs(2.57584136-2.57579343)×7.87820225187086e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.87820225187086e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.87820225187086e-06×40589641000000     		ar = 2591.21250467647m²