Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119261 / 117212
↖ ↑ ↗
← S 80.399231°
E147.560120°		 ← 50.94 m → S 80.399231°
E147.562866°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.399688°
E147.560120°		 ← 50.94 m →
2 593 m²		 S 80.399688°
E147.562866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909893035888672 y=0.894260406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909893035888672 × 217)
    floor (0.909893035888672 × 131072)
    floor (119261.5)     		tx = 119261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894260406494141 × 217)
    floor (0.894260406494141 × 131072)
    floor (117212.5)     		ty = 117212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119261 / 117212 ti = "17/119261/117212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119261/117212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119261 ÷ 217
    119261 ÷ 131072     		x = 0.909889221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117212 ÷ 217
    117212 ÷ 131072     		y = 0.894256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909889221191406 × 2 - 1) × π
    0.819778442382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.57540993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.78851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47718722476602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57540993} λ = 2.57540993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47718722476602))-π/2
    2×atan(0.0839791080498033)-π/2
    2×0.0837825186257032-π/2
    0.167565037251406-1.57079632675     		φ = -1.40323129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57540993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.560120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40323129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.399231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119261 KachelY 117212 2.57540993 -1.40323129 147.560120 -80.399231
    Oben rechts KachelX + 1 119262 KachelY 117212 2.57545787 -1.40323129 147.562866 -80.399231
    Unten links KachelX 119261 KachelY + 1 117213 2.57540993 -1.40323928 147.560120 -80.399688
    Unten rechts KachelX + 1 119262 KachelY + 1 117213 2.57545787 -1.40323928 147.562866 -80.399688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40323129--1.40323928) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40323129--1.40323928) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57540993-2.57545787) × cos(-1.40323129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166781987250842 × 6371000     		do = 50.9395118747255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57540993-2.57545787) × cos(-1.40323928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166774109155076 × 6371000     		du = 50.9371057014964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40323129)-sin(-1.40323928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166781987250842-0.166774109155076)×R²
    abs(2.57545787-2.57540993)×7.87809576577314e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87809576577314e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87809576577314e-06×40589641000000     		ar = 2592.97844271745m²