Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11926 / 13733
↖ ↑ ↗
← N 27.945886°
W 48.977051°		 ← 1 079.13 m → N 27.945886°
W 48.966065°		 →
↑
1 079.25 m
↓
↑
1 079.25 m
↓
N 27.936180°
W 48.977051°		 ← 1 079.23 m →
1 164 699 m²		 N 27.936180°
W 48.966065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363967895507812 y=0.419113159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363967895507812 × 215)
    floor (0.363967895507812 × 32768)
    floor (11926.5)     		tx = 11926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419113159179688 × 215)
    floor (0.419113159179688 × 32768)
    floor (13733.5)     		ty = 13733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11926 / 13733 ti = "15/11926/13733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11926/13733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11926 ÷ 215
    11926 ÷ 32768     		x = 0.36395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13733 ÷ 215
    13733 ÷ 32768     		y = 0.419097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.2720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85481079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    0.16180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.508322883571075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85481079} λ = -0.85481079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508322883571075))-π/2
    2×atan(1.6625006484137)-π/2
    2×1.02927202686976-π/2
    2.05854405373953-1.57079632675     		φ = 0.48774773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85481079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48774773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.945886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11926 KachelY 13733 -0.85481079 0.48774773 -48.977051 27.945886
    Oben rechts KachelX + 1 11927 KachelY 13733 -0.85461905 0.48774773 -48.966065 27.945886
    Unten links KachelX 11926 KachelY + 1 13734 -0.85481079 0.48757833 -48.977051 27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 11927 KachelY + 1 13734 -0.85461905 0.48757833 -48.966065 27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48774773-0.48757833) × R
    0.000169399999999986 × 6371000     		dl = 1079.24739999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48774773-0.48757833) × R
    0.000169399999999986 × 6371000     		dr = 1079.24739999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85481079--0.85461905) × cos(0.48774773) × R
    0.000191739999999996 × 0.883390596370222 × 6371000     		do = 1079.12834479185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85481079--0.85461905) × cos(0.48757833) × R
    0.000191739999999996 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 1079.22530674889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48774773)-sin(0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883390596370222-0.883469970877867)×R²
    abs(-0.85461905--0.85481079)×7.93745076455021e-05×R²
    0.000191739999999996×7.93745076455021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.93745076455021e-05×40589641000000     		ar = 1164698.78613798m²