Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119259 / 117213
↖ ↑ ↗
← S 80.399688°
E147.554627°		 ← 50.94 m → S 80.399688°
E147.557373°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
S 80.400147°
E147.554627°		 ← 50.93 m →
2 596 m²		 S 80.400147°
E147.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909877777099609 y=0.894268035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909877777099609 × 217)
    floor (0.909877777099609 × 131072)
    floor (119259.5)     		tx = 119259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894268035888672 × 217)
    floor (0.894268035888672 × 131072)
    floor (117213.5)     		ty = 117213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119259 / 117213 ti = "17/119259/117213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119259/117213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119259 ÷ 217
    119259 ÷ 131072     		x = 0.909873962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117213 ÷ 217
    117213 ÷ 131072     		y = 0.894264221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909873962402344 × 2 - 1) × π
    0.819747924804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.57531406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894264221191406 × 2 - 1) × π
    -0.788528442382812 × 3.1415926535     		Φ = -2.47723516166564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57531406} λ = 2.57531406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47723516166564))-π/2
    2×atan(0.0839750824482187)-π/2
    2×0.0837785212144724-π/2
    0.167557042428945-1.57079632675     		φ = -1.40323928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57531406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.554627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40323928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.399688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119259 KachelY 117213 2.57531406 -1.40323928 147.554627 -80.399688
    Oben rechts KachelX + 1 119260 KachelY 117213 2.57536200 -1.40323928 147.557373 -80.399688
    Unten links KachelX 119259 KachelY + 1 117214 2.57531406 -1.40324728 147.554627 -80.400147
    Unten rechts KachelX + 1 119260 KachelY + 1 117214 2.57536200 -1.40324728 147.557373 -80.400147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40323928--1.40324728) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40323928--1.40324728) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57531406-2.57536200) × cos(-1.40323928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166774109155076 × 6371000     		do = 50.9371057014964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57531406-2.57536200) × cos(-1.40324728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166766221188699 × 6371000     		du = 50.9346965135286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40323928)-sin(-1.40324728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166774109155076-0.166766221188699)×R²
    abs(2.57536200-2.57531406)×7.88796637724021e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88796637724021e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88796637724021e-06×40589641000000     		ar = 2596.10100751936m²