Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119255 / 117239
↖ ↑ ↗
← S 80.411591°
E147.543640°		 ← 50.87 m → S 80.411591°
E147.546387°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
S 80.412048°
E147.543640°		 ← 50.87 m →
2 586 m²		 S 80.412048°
E147.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909847259521484 y=0.894466400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909847259521484 × 217)
    floor (0.909847259521484 × 131072)
    floor (119255.5)     		tx = 119255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894466400146484 × 217)
    floor (0.894466400146484 × 131072)
    floor (117239.5)     		ty = 117239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119255 / 117239 ti = "17/119255/117239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119255/117239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119255 ÷ 217
    119255 ÷ 131072     		x = 0.909843444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117239 ÷ 217
    117239 ÷ 131072     		y = 0.894462585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909843444824219 × 2 - 1) × π
    0.819686889648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57512231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894462585449219 × 2 - 1) × π
    -0.788925170898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.47848152105576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57512231} λ = 2.57512231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47848152105576))-π/2
    2×atan(0.0838704845125231)-π/2
    2×0.08367465481342-π/2
    0.16734930962684-1.57079632675     		φ = -1.40344702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57512231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.543640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40344702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.411591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119255 KachelY 117239 2.57512231 -1.40344702 147.543640 -80.411591
    Oben rechts KachelX + 1 119256 KachelY 117239 2.57517025 -1.40344702 147.546387 -80.411591
    Unten links KachelX 119255 KachelY + 1 117240 2.57512231 -1.40345500 147.543640 -80.412048
    Unten rechts KachelX + 1 119256 KachelY + 1 117240 2.57517025 -1.40345500 147.546387 -80.412048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40344702--1.40345500) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40344702--1.40345500) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57512231-2.57517025) × cos(-1.40344702) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166569274929585 × 6371000     		do = 50.8745440570699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57512231-2.57517025) × cos(-1.40345500) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166561406406841 × 6371000     		du = 50.8721408076881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40344702)-sin(-1.40345500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166569274929585-0.166561406406841)×R²
    abs(2.57517025-2.57512231)×7.86852274389793e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.86852274389793e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.86852274389793e-06×40589641000000     		ar = 2586.43023571162m²