Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119254 / 117307
↖ ↑ ↗
← S 80.442650°
E147.540893°		 ← 50.71 m → S 80.442650°
E147.543640°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
S 80.443107°
E147.540893°		 ← 50.71 m →
2 572 m²		 S 80.443107°
E147.543640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909839630126953 y=0.894985198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909839630126953 × 217)
    floor (0.909839630126953 × 131072)
    floor (119254.5)     		tx = 119254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894985198974609 × 217)
    floor (0.894985198974609 × 131072)
    floor (117307.5)     		ty = 117307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119254 / 117307 ti = "17/119254/117307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119254/117307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119254 ÷ 217
    119254 ÷ 131072     		x = 0.909835815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117307 ÷ 217
    117307 ÷ 131072     		y = 0.894981384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909835815429688 × 2 - 1) × π
    0.819671630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57507437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894981384277344 × 2 - 1) × π
    -0.789962768554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.48174123022993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57507437} λ = 2.57507437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48174123022993))-π/2
    2×atan(0.0835975362324114)-π/2
    2×0.0834036069556907-π/2
    0.166807213911381-1.57079632675     		φ = -1.40398911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57507437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.540893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40398911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.442650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119254 KachelY 117307 2.57507437 -1.40398911 147.540893 -80.442650
    Oben rechts KachelX + 1 119255 KachelY 117307 2.57512231 -1.40398911 147.543640 -80.442650
    Unten links KachelX 119254 KachelY + 1 117308 2.57507437 -1.40399707 147.540893 -80.443107
    Unten rechts KachelX + 1 119255 KachelY + 1 117308 2.57512231 -1.40399707 147.543640 -80.443107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40398911--1.40399707) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40398911--1.40399707) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57507437-2.57512231) × cos(-1.40398911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166034733612024 × 6371000     		do = 50.711281379122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57507437-2.57512231) × cos(-1.40399707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166026884092319 × 6371000     		du = 50.7088839337576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40398911)-sin(-1.40399707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166034733612024-0.166026884092319)×R²
    abs(2.57512231-2.57507437)×7.8495197046724e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.8495197046724e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.8495197046724e-06×40589641000000     		ar = 2571.66853538043m²