Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119252 / 117220
↖ ↑ ↗
← S 80.402895°
E147.535400°		 ← 50.92 m → S 80.402895°
E147.538147°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.403352°
E147.535400°		 ← 50.92 m →
2 592 m²		 S 80.403352°
E147.538147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909824371337891 y=0.894321441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909824371337891 × 217)
    floor (0.909824371337891 × 131072)
    floor (119252.5)     		tx = 119252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894321441650391 × 217)
    floor (0.894321441650391 × 131072)
    floor (117220.5)     		ty = 117220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119252 / 117220 ti = "17/119252/117220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119252/117220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119252 ÷ 217
    119252 ÷ 131072     		x = 0.909820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117220 ÷ 217
    117220 ÷ 131072     		y = 0.894317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909820556640625 × 2 - 1) × π
    0.81964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57497850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.78863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47757071996298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57497850} λ = 2.57497850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47757071996298))-π/2
    2×atan(0.0839469086397753)-π/2
    2×0.0837505446255611-π/2
    0.167501089251122-1.57079632675     		φ = -1.40329524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57497850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.535400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40329524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.402895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119252 KachelY 117220 2.57497850 -1.40329524 147.535400 -80.402895
    Oben rechts KachelX + 1 119253 KachelY 117220 2.57502644 -1.40329524 147.538147 -80.402895
    Unten links KachelX 119252 KachelY + 1 117221 2.57497850 -1.40330323 147.535400 -80.403352
    Unten rechts KachelX + 1 119253 KachelY + 1 117221 2.57502644 -1.40330323 147.538147 -80.403352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40329524--1.40330323) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40329524--1.40330323) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57497850-2.57502644) × cos(-1.40329524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166718932606498 × 6371000     		do = 50.9202533633163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57497850-2.57502644) × cos(-1.40330323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166711054425531 × 6371000     		du = 50.9178471640648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40329524)-sin(-1.40330323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166718932606498-0.166711054425531)×R²
    abs(2.57502644-2.57497850)×7.87818096642523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87818096642523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87818096642523e-06×40589641000000     		ar = 2591.99810111308m²