Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11925 / 13749
↖ ↑ ↗
← N 27.790491°
W 48.988037°		 ← 1 080.73 m → N 27.790491°
W 48.977051°		 →
↑
1 080.78 m
↓
↑
1 080.78 m
↓
N 27.780771°
W 48.988037°		 ← 1 080.83 m →
1 168 083 m²		 N 27.780771°
W 48.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363937377929688 y=0.419601440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363937377929688 × 215)
    floor (0.363937377929688 × 32768)
    floor (11925.5)     		tx = 11925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419601440429688 × 215)
    floor (0.419601440429688 × 32768)
    floor (13749.5)     		ty = 13749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11925 / 13749 ti = "15/11925/13749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11925/13749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11925 ÷ 215
    11925 ÷ 32768     		x = 0.363922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13749 ÷ 215
    13749 ÷ 32768     		y = 0.419586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.27215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85500254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419586181640625 × 2 - 1) × π
    0.16082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505254921995392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85500254} λ = -0.85500254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505254921995392))-π/2
    2×atan(1.65740797636042)-π/2
    2×1.02791594970101-π/2
    2.05583189940201-1.57079632675     		φ = 0.48503557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85500254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48503557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.790491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11925 KachelY 13749 -0.85500254 0.48503557 -48.988037 27.790491
    Oben rechts KachelX + 1 11926 KachelY 13749 -0.85481079 0.48503557 -48.977051 27.790491
    Unten links KachelX 11925 KachelY + 1 13750 -0.85500254 0.48486593 -48.988037 27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 11926 KachelY + 1 13750 -0.85481079 0.48486593 -48.977051 27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48503557-0.48486593) × R
    0.000169640000000026 × 6371000     		dl = 1080.77644000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48503557-0.48486593) × R
    0.000169640000000026 × 6371000     		dr = 1080.77644000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85500254--0.85481079) × cos(0.48503557) × R
    0.000191749999999935 × 0.88465836551753 × 6371000     		do = 1080.73338215669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85500254--0.85481079) × cos(0.48486593) × R
    0.000191749999999935 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 1080.82998962638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48503557)-sin(0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88465836551753-0.88473744571218)×R²
    abs(-0.85481079--0.85500254)×7.9080194650416e-05×R²
    0.000191749999999935×7.9080194650416e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.9080194650416e-05×40589641000000     		ar = 1168083.38569649m²