Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119248 / 117230
↖ ↑ ↗
← S 80.407473°
E147.524414°		 ← 50.90 m → S 80.407473°
E147.527161°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.407930°
E147.524414°		 ← 50.89 m →
2 591 m²		 S 80.407930°
E147.527161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909793853759766 y=0.894397735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909793853759766 × 217)
    floor (0.909793853759766 × 131072)
    floor (119248.5)     		tx = 119248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894397735595703 × 217)
    floor (0.894397735595703 × 131072)
    floor (117230.5)     		ty = 117230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119248 / 117230 ti = "17/119248/117230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119248/117230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119248 ÷ 217
    119248 ÷ 131072     		x = 0.9097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117230 ÷ 217
    117230 ÷ 131072     		y = 0.894393920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9097900390625 × 2 - 1) × π
    0.819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57478675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894393920898438 × 2 - 1) × π
    -0.788787841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47805008895918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57478675} λ = 2.57478675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47805008895918))-π/2
    2×atan(0.0839066767381801)-π/2
    2×0.0837105941235828-π/2
    0.167421188247166-1.57079632675     		φ = -1.40337514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57478675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40337514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.407473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119248 KachelY 117230 2.57478675 -1.40337514 147.524414 -80.407473
    Oben rechts KachelX + 1 119249 KachelY 117230 2.57483469 -1.40337514 147.527161 -80.407473
    Unten links KachelX 119248 KachelY + 1 117231 2.57478675 -1.40338313 147.524414 -80.407930
    Unten rechts KachelX + 1 119249 KachelY + 1 117231 2.57483469 -1.40338313 147.527161 -80.407930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40337514--1.40338313) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40337514--1.40338313) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57478675-2.57483469) × cos(-1.40337514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166640150317964 × 6371000     		do = 50.896191224542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57478675-2.57483469) × cos(-1.40338313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166632272030591 × 6371000     		du = 50.8937849927913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40337514)-sin(-1.40338313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166640150317964-0.166632272030591)×R²
    abs(2.57483469-2.57478675)×7.87828737233709e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87828737233709e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87828737233709e-06×40589641000000     		ar = 2590.77323417751m²