Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119247 / 117325
↖ ↑ ↗
← S 80.450856°
E147.521668°		 ← 50.66 m → S 80.450856°
E147.524414°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
S 80.451311°
E147.521668°		 ← 50.66 m →
2 566 m²		 S 80.451311°
E147.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909786224365234 y=0.895122528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909786224365234 × 217)
    floor (0.909786224365234 × 131072)
    floor (119247.5)     		tx = 119247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895122528076172 × 217)
    floor (0.895122528076172 × 131072)
    floor (117325.5)     		ty = 117325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119247 / 117325 ti = "17/119247/117325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119247/117325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119247 ÷ 217
    119247 ÷ 131072     		x = 0.909782409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117325 ÷ 217
    117325 ÷ 131072     		y = 0.895118713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909782409667969 × 2 - 1) × π
    0.819564819335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57473882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895118713378906 × 2 - 1) × π
    -0.790237426757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.48260409442309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57473882} λ = 2.57473882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48260409442309))-π/2
    2×atan(0.0835254340234406)-π/2
    2×0.0833320047109845-π/2
    0.166664009421969-1.57079632675     		φ = -1.40413232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57473882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.521668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40413232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.450856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119247 KachelY 117325 2.57473882 -1.40413232 147.521668 -80.450856
    Oben rechts KachelX + 1 119248 KachelY 117325 2.57478675 -1.40413232 147.524414 -80.450856
    Unten links KachelX 119247 KachelY + 1 117326 2.57473882 -1.40414027 147.521668 -80.451311
    Unten rechts KachelX + 1 119248 KachelY + 1 117326 2.57478675 -1.40414027 147.524414 -80.451311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40413232--1.40414027) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dl = 50.6494500005723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40413232--1.40414027) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dr = 50.6494500005723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57473882-2.57478675) × cos(-1.40413232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165893509678285 × 6371000     		do = 50.6575788792169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57473882-2.57478675) × cos(-1.40414027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165885669830844 × 6371000     		du = 50.6551848874873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40413232)-sin(-1.40414027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165893509678285-0.165885669830844)×R²
    abs(2.57478675-2.57473882)×7.83984744137656e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.83984744137656e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.83984744137656e-06×40589641000000     		ar = 2565.71788134017m²