Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119245 / 117327
↖ ↑ ↗
← S 80.451767°
E147.516174°		 ← 50.66 m → S 80.451767°
E147.518921°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
S 80.452222°
E147.516174°		 ← 50.66 m →
2 566 m²		 S 80.452222°
E147.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909770965576172 y=0.895137786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909770965576172 × 217)
    floor (0.909770965576172 × 131072)
    floor (119245.5)     		tx = 119245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895137786865234 × 217)
    floor (0.895137786865234 × 131072)
    floor (117327.5)     		ty = 117327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119245 / 117327 ti = "17/119245/117327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119245/117327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119245 ÷ 217
    119245 ÷ 131072     		x = 0.909767150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117327 ÷ 217
    117327 ÷ 131072     		y = 0.895133972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909767150878906 × 2 - 1) × π
    0.819534301757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.57464294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895133972167969 × 2 - 1) × π
    -0.790267944335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.48269996822233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57464294} λ = 2.57464294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48269996822233))-π/2
    2×atan(0.0835174265066093)-π/2
    2×0.0833240526662599-π/2
    0.16664810533252-1.57079632675     		φ = -1.40414822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57464294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.516174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40414822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.451767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119245 KachelY 117327 2.57464294 -1.40414822 147.516174 -80.451767
    Oben rechts KachelX + 1 119246 KachelY 117327 2.57469088 -1.40414822 147.518921 -80.451767
    Unten links KachelX 119245 KachelY + 1 117328 2.57464294 -1.40415617 147.516174 -80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 119246 KachelY + 1 117328 2.57469088 -1.40415617 147.518921 -80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40414822--1.40415617) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dl = 50.6494500005723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40414822--1.40415617) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dr = 50.6494500005723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57464294-2.57469088) × cos(-1.40414822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165877829972918 × 6371000     		do = 50.6633589690396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57464294-2.57469088) × cos(-1.40415617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 50.660964471429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40414822)-sin(-1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165877829972918-0.165869990104509)×R²
    abs(2.57469088-2.57464294)×7.83986840965922e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83986840965922e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83986840965922e-06×40589641000000     		ar = 2566.0106269173m²