Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119241 / 117338
↖ ↑ ↗
← S 80.456777°
E147.505188°		 ← 50.64 m → S 80.456777°
E147.507935°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
S 80.457232°
E147.505188°		 ← 50.63 m →
2 561 m²		 S 80.457232°
E147.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909740447998047 y=0.895221710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909740447998047 × 217)
    floor (0.909740447998047 × 131072)
    floor (119241.5)     		tx = 119241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895221710205078 × 217)
    floor (0.895221710205078 × 131072)
    floor (117338.5)     		ty = 117338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119241 / 117338 ti = "17/119241/117338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119241/117338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119241 ÷ 217
    119241 ÷ 131072     		x = 0.909736633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117338 ÷ 217
    117338 ÷ 131072     		y = 0.895217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909736633300781 × 2 - 1) × π
    0.819473266601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.57445119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895217895507812 × 2 - 1) × π
    -0.790435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48322727411815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57445119} λ = 2.57445119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48322727411815))-π/2
    2×atan(0.0834733988842412)-π/2
    2×0.0832803298567629-π/2
    0.166560659713526-1.57079632675     		φ = -1.40423567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57445119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.505188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40423567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.456777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119241 KachelY 117338 2.57445119 -1.40423567 147.505188 -80.456777
    Oben rechts KachelX + 1 119242 KachelY 117338 2.57449913 -1.40423567 147.507935 -80.456777
    Unten links KachelX 119241 KachelY + 1 117339 2.57445119 -1.40424361 147.505188 -80.457232
    Unten rechts KachelX + 1 119242 KachelY + 1 117339 2.57449913 -1.40424361 147.507935 -80.457232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40423567--1.40424361) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40423567--1.40424361) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57445119-2.57449913) × cos(-1.40423567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165791590843908 × 6371000     		do = 50.6370193192446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57445119-2.57449913) × cos(-1.40424361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165783760721829 × 6371000     		du = 50.6346277984145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40423567)-sin(-1.40424361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165791590843908-0.165783760721829)×R²
    abs(2.57449913-2.57445119)×7.83012207833389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83012207833389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83012207833389e-06×40589641000000     		ar = 2561.45060539093m²