Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11924 / 13740
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
W 48.999023°		 ← 1 079.86 m → N 27.877928°
W 48.988037°		 →
↑
1 079.88 m
↓
↑
1 079.88 m
↓
N 27.868217°
W 48.999023°		 ← 1 079.96 m →
1 166 179 m²		 N 27.868217°
W 48.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363906860351562 y=0.419326782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363906860351562 × 215)
    floor (0.363906860351562 × 32768)
    floor (11924.5)     		tx = 11924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419326782226562 × 215)
    floor (0.419326782226562 × 32768)
    floor (13740.5)     		ty = 13740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11924 / 13740 ti = "15/11924/13740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11924/13740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11924 ÷ 215
    11924 ÷ 32768     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13740 ÷ 215
    13740 ÷ 32768     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11924 KachelY 13740 -0.85519429 0.48656164 -48.999023 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 11925 KachelY 13740 -0.85500254 0.48656164 -48.988037 27.877928
    Unten links KachelX 11924 KachelY + 1 13741 -0.85519429 0.48639214 -48.999023 27.868217
    Unten rechts KachelX + 1 11925 KachelY + 1 13741 -0.85500254 0.48639214 -48.988037 27.868217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48639214) × R
    0.000169500000000045 × 6371000     		dl = 1079.88450000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48639214) × R
    0.000169500000000045 × 6371000     		dr = 1079.88450000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85500254) × cos(0.48656164) × R
    0.000191750000000046 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 1079.86290986255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85500254) × cos(0.48639214) × R
    0.000191750000000046 × 0.884025064738971 × 6371000     		du = 1079.95971706918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48639214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.884025064738971)×R²
    abs(-0.85500254--0.85519429)×7.92436937750995e-05×R²
    0.000191750000000046×7.92436937750995e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.92436937750995e-05×40589641000000     		ar = 1166179.49157909m²