Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119239 / 117333
↖ ↑ ↗
← S 80.454500°
E147.499695°		 ← 50.65 m → S 80.454500°
E147.502442°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
S 80.454955°
E147.499695°		 ← 50.65 m →
2 565 m²		 S 80.454955°
E147.502442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909725189208984 y=0.895183563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909725189208984 × 217)
    floor (0.909725189208984 × 131072)
    floor (119239.5)     		tx = 119239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895183563232422 × 217)
    floor (0.895183563232422 × 131072)
    floor (117333.5)     		ty = 117333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119239 / 117333 ti = "17/119239/117333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119239/117333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119239 ÷ 217
    119239 ÷ 131072     		x = 0.909721374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117333 ÷ 217
    117333 ÷ 131072     		y = 0.895179748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909721374511719 × 2 - 1) × π
    0.819442749023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57435532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895179748535156 × 2 - 1) × π
    -0.790359497070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.48298758962005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57435532} λ = 2.57435532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48298758962005))-π/2
    2×atan(0.0834934085618665)-π/2
    2×0.0833002010425813-π/2
    0.166600402085163-1.57079632675     		φ = -1.40419592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57435532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.499695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40419592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.454500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119239 KachelY 117333 2.57435532 -1.40419592 147.499695 -80.454500
    Oben rechts KachelX + 1 119240 KachelY 117333 2.57440326 -1.40419592 147.502442 -80.454500
    Unten links KachelX 119239 KachelY + 1 117334 2.57435532 -1.40420387 147.499695 -80.454955
    Unten rechts KachelX + 1 119240 KachelY + 1 117334 2.57440326 -1.40420387 147.502442 -80.454955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40419592--1.40420387) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dl = 50.6494499991577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40419592--1.40420387) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dr = 50.6494499991577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57435532-2.57440326) × cos(-1.40419592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16583079060522 × 6371000     		do = 50.6489919353511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57435532-2.57440326) × cos(-1.40420387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165822950673917 × 6371000     		du = 50.6465974185315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40419592)-sin(-1.40420387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16583079060522-0.165822950673917)×R²
    abs(2.57440326-2.57435532)×7.83993130240579e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83993130240579e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83993130240579e-06×40589641000000     		ar = 2565.28294413371m²