Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119238 / 117318
↖ ↑ ↗
← S 80.447666°
E147.496948°		 ← 50.68 m → S 80.447666°
E147.499695°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
S 80.448122°
E147.496948°		 ← 50.68 m →
2 570 m²		 S 80.448122°
E147.499695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909717559814453 y=0.895069122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909717559814453 × 217)
    floor (0.909717559814453 × 131072)
    floor (119238.5)     		tx = 119238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895069122314453 × 217)
    floor (0.895069122314453 × 131072)
    floor (117318.5)     		ty = 117318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119238 / 117318 ti = "17/119238/117318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119238/117318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119238 ÷ 217
    119238 ÷ 131072     		x = 0.909713745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117318 ÷ 217
    117318 ÷ 131072     		y = 0.895065307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909713745117188 × 2 - 1) × π
    0.819427490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57430738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895065307617188 × 2 - 1) × π
    -0.790130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48226853612575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57430738} λ = 2.57430738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48226853612575))-π/2
    2×atan(0.0835534663788479)-π/2
    2×0.0833598427889055-π/2
    0.166719685577811-1.57079632675     		φ = -1.40407664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57430738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.496948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40407664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.447666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119238 KachelY 117318 2.57430738 -1.40407664 147.496948 -80.447666
    Oben rechts KachelX + 1 119239 KachelY 117318 2.57435532 -1.40407664 147.499695 -80.447666
    Unten links KachelX 119238 KachelY + 1 117319 2.57430738 -1.40408460 147.496948 -80.448122
    Unten rechts KachelX + 1 119239 KachelY + 1 117319 2.57435532 -1.40408460 147.499695 -80.448122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40407664--1.40408460) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40407664--1.40408460) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57430738-2.57435532) × cos(-1.40407664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165948417900803 × 6371000     		do = 50.6849183391488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57430738-2.57435532) × cos(-1.40408460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165940568265448 × 6371000     		du = 50.6825208584618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40407664)-sin(-1.40408460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165948417900803-0.165940568265448)×R²
    abs(2.57435532-2.57430738)×7.84963535468974e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.84963535468974e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.84963535468974e-06×40589641000000     		ar = 2570.33158144466m²