Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119233 / 117956
↖ ↑ ↗
← S 80.734118°
E147.483215°		 ← 49.18 m → S 80.734118°
E147.485962°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.734560°
E147.483215°		 ← 49.18 m →
2 419 m²		 S 80.734560°
E147.485962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909679412841797 y=0.899936676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909679412841797 × 217)
    floor (0.909679412841797 × 131072)
    floor (119233.5)     		tx = 119233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899936676025391 × 217)
    floor (0.899936676025391 × 131072)
    floor (117956.5)     		ty = 117956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119233 / 117956 ti = "17/119233/117956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119233/117956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119233 ÷ 217
    119233 ÷ 131072     		x = 0.909675598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117956 ÷ 217
    117956 ÷ 131072     		y = 0.899932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909675598144531 × 2 - 1) × π
    0.819351196289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.57406770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.79986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51285227808334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57406770} λ = 2.57406770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51285227808334))-π/2
    2×atan(0.081036769887641)-π/2
    2×0.0808600772101623-π/2
    0.161720154420325-1.57079632675     		φ = -1.40907617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57406770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.483215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40907617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.734118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119233 KachelY 117956 2.57406770 -1.40907617 147.483215 -80.734118
    Oben rechts KachelX + 1 119234 KachelY 117956 2.57411564 -1.40907617 147.485962 -80.734118
    Unten links KachelX 119233 KachelY + 1 117957 2.57406770 -1.40908389 147.483215 -80.734560
    Unten rechts KachelX + 1 119234 KachelY + 1 117957 2.57411564 -1.40908389 147.485962 -80.734560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40907617--1.40908389) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40907617--1.40908389) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57406770-2.57411564) × cos(-1.40907617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161016155789979 × 6371000     		do = 49.1784785340775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57406770-2.57411564) × cos(-1.40908389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161008536517512 × 6371000     		du = 49.1761514121459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40907617)-sin(-1.40908389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161016155789979-0.161008536517512)×R²
    abs(2.57411564-2.57406770)×7.61927246736849e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61927246736849e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61927246736849e-06×40589641000000     		ar = 2418.74296077652m²