Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119231 / 118721
↖ ↑ ↗
← S 81.066383°
E147.477722°		 ← 47.42 m → S 81.066383°
E147.480469°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.066810°
E147.477722°		 ← 47.42 m →
2 251 m²		 S 81.066810°
E147.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909664154052734 y=0.905773162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909664154052734 × 217)
    floor (0.909664154052734 × 131072)
    floor (119231.5)     		tx = 119231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905773162841797 × 217)
    floor (0.905773162841797 × 131072)
    floor (118721.5)     		ty = 118721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119231 / 118721 ti = "17/119231/118721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119231/118721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119231 ÷ 217
    119231 ÷ 131072     		x = 0.909660339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118721 ÷ 217
    118721 ÷ 131072     		y = 0.905769348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909660339355469 × 2 - 1) × π
    0.819320678710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57397183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905769348144531 × 2 - 1) × π
    -0.811538696289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54952400629269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57397183} λ = 2.57397183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54952400629269))-π/2
    2×atan(0.0781188412297118)-π/2
    2×0.0779605124204371-π/2
    0.155921024840874-1.57079632675     		φ = -1.41487530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57397183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.477722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41487530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.066383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119231 KachelY 118721 2.57397183 -1.41487530 147.477722 -81.066383
    Oben rechts KachelX + 1 119232 KachelY 118721 2.57401976 -1.41487530 147.480469 -81.066383
    Unten links KachelX 119231 KachelY + 1 118722 2.57397183 -1.41488275 147.477722 -81.066810
    Unten rechts KachelX + 1 119232 KachelY + 1 118722 2.57401976 -1.41488275 147.480469 -81.066810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41487530--1.41488275) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41487530--1.41488275) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57397183-2.57401976) × cos(-1.41487530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155290018776428 × 6371000     		do = 47.4196753723372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57397183-2.57401976) × cos(-1.41488275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		du = 47.4174280214552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41487530)-sin(-1.41488275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155290018776428-0.155282659148638)×R²
    abs(2.57401976-2.57397183)×7.35962778972143e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35962778972143e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35962778972143e-06×40589641000000     		ar = 2250.67176692575m²