Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11923 / 13747
↖ ↑ ↗
← N 27.809928°
W 49.010010°		 ← 1 080.54 m → N 27.809928°
W 48.999023°		 →
↑
1 080.52 m
↓
↑
1 080.52 m
↓
N 27.800210°
W 49.010010°		 ← 1 080.64 m →
1 167 599 m²		 N 27.800210°
W 48.999023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363876342773438 y=0.419540405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363876342773438 × 215)
    floor (0.363876342773438 × 32768)
    floor (11923.5)     		tx = 11923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419540405273438 × 215)
    floor (0.419540405273438 × 32768)
    floor (13747.5)     		ty = 13747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11923 / 13747 ti = "15/11923/13747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11923/13747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11923 ÷ 215
    11923 ÷ 32768     		x = 0.363861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13747 ÷ 215
    13747 ÷ 32768     		y = 0.419525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.27227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85538604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419525146484375 × 2 - 1) × π
    0.16094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.505638417192352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85538604} λ = -0.85538604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505638417192352))-π/2
    2×atan(1.65804370625065)-π/2
    2×1.0280855656504-π/2
    2.0561711313008-1.57079632675     		φ = 0.48537480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85538604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48537480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.809928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11923 KachelY 13747 -0.85538604 0.48537480 -49.010010 27.809928
    Oben rechts KachelX + 1 11924 KachelY 13747 -0.85519429 0.48537480 -48.999023 27.809928
    Unten links KachelX 11923 KachelY + 1 13748 -0.85538604 0.48520520 -49.010010 27.800210
    Unten rechts KachelX + 1 11924 KachelY + 1 13748 -0.85519429 0.48520520 -48.999023 27.800210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48537480-0.48520520) × R
    0.000169599999999992 × 6371000     		dl = 1080.52159999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48537480-0.48520520) × R
    0.000169599999999992 × 6371000     		dr = 1080.52159999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85538604--0.85519429) × cos(0.48537480) × R
    0.000191749999999935 × 0.884500152082124 × 6371000     		do = 1080.54010241413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85538604--0.85519429) × cos(0.48520520) × R
    0.000191749999999935 × 0.884579264528319 × 6371000     		du = 1080.63674928356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48537480)-sin(0.48520520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884500152082124-0.884579264528319)×R²
    abs(-0.85519429--0.85538604)×7.91124461949622e-05×R²
    0.000191749999999935×7.91124461949622e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.91124461949622e-05×40589641000000     		ar = 1167599.13763806m²