Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11922 / 13745
↖ ↑ ↗
← N 27.829361°
W 49.020996°		 ← 1 080.29 m → N 27.829361°
W 49.010010°		 →
↑
1 080.39 m
↓
↑
1 080.39 m
↓
N 27.819645°
W 49.020996°		 ← 1 080.39 m →
1 167 192 m²		 N 27.819645°
W 49.010010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363845825195312 y=0.419479370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363845825195312 × 215)
    floor (0.363845825195312 × 32768)
    floor (11922.5)     		tx = 11922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419479370117188 × 215)
    floor (0.419479370117188 × 32768)
    floor (13745.5)     		ty = 13745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11922 / 13745 ti = "15/11922/13745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11922/13745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11922 ÷ 215
    11922 ÷ 32768     		x = 0.36383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13745 ÷ 215
    13745 ÷ 32768     		y = 0.419464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419464111328125 × 2 - 1) × π
    0.16107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.506021912389313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85557778} λ = -0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506021912389313))-π/2
    2×atan(1.65867967998699)-π/2
    2×1.02825515125554-π/2
    2.05651030251108-1.57079632675     		φ = 0.48571398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48571398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.829361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11922 KachelY 13745 -0.85557778 0.48571398 -49.020996 27.829361
    Oben rechts KachelX + 1 11923 KachelY 13745 -0.85538604 0.48571398 -49.010010 27.829361
    Unten links KachelX 11922 KachelY + 1 13746 -0.85557778 0.48554440 -49.020996 27.819645
    Unten rechts KachelX + 1 11923 KachelY + 1 13746 -0.85538604 0.48554440 -49.010010 27.819645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48571398-0.48554440) × R
    0.000169580000000003 × 6371000     		dl = 1080.39418000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48571398-0.48554440) × R
    0.000169580000000003 × 6371000     		dr = 1080.39418000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85557778--0.85538604) × cos(0.48571398) × R
    0.000191739999999996 × 0.884341860203097 × 6371000     		do = 1080.29038542218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85557778--0.85538604) × cos(0.48554440) × R
    0.000191739999999996 × 0.884421014194026 × 6371000     		du = 1080.38707800139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48571398)-sin(0.48554440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884341860203097-0.884421014194026)×R²
    abs(-0.85538604--0.85557778)×7.91539909285044e-05×R²
    0.000191739999999996×7.91539909285044e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.91539909285044e-05×40589641000000     		ar = 1167191.68096707m²