Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119211 / 117093
↖ ↑ ↗
← S 80.344565°
E147.422791°		 ← 51.22 m → S 80.344565°
E147.425537°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
S 80.345026°
E147.422791°		 ← 51.21 m →
2 623 m²		 S 80.345026°
E147.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909511566162109 y=0.893352508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909511566162109 × 217)
    floor (0.909511566162109 × 131072)
    floor (119211.5)     		tx = 119211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893352508544922 × 217)
    floor (0.893352508544922 × 131072)
    floor (117093.5)     		ty = 117093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119211 / 117093 ti = "17/119211/117093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119211/117093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119211 ÷ 217
    119211 ÷ 131072     		x = 0.909507751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117093 ÷ 217
    117093 ÷ 131072     		y = 0.893348693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909507751464844 × 2 - 1) × π
    0.819015502929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.57301309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893348693847656 × 2 - 1) × π
    -0.786697387695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.47148273371124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57301309} λ = 2.57301309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47148273371124))-π/2
    2×atan(0.0844595351136001)-π/2
    2×0.0842595620619951-π/2
    0.16851912412399-1.57079632675     		φ = -1.40227720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57301309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.422791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40227720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.344565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119211 KachelY 117093 2.57301309 -1.40227720 147.422791 -80.344565
    Oben rechts KachelX + 1 119212 KachelY 117093 2.57306102 -1.40227720 147.425537 -80.344565
    Unten links KachelX 119211 KachelY + 1 117094 2.57301309 -1.40228524 147.422791 -80.345026
    Unten rechts KachelX + 1 119212 KachelY + 1 117094 2.57306102 -1.40228524 147.425537 -80.345026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40227720--1.40228524) × R
    8.04000000020899e-06 × 6371000     		dl = 51.2228400013315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40227720--1.40228524) × R
    8.04000000020899e-06 × 6371000     		dr = 51.2228400013315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57301309-2.57306102) × cos(-1.40227720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167722638020594 × 6371000     		do = 51.2161252229551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57301309-2.57306102) × cos(-1.40228524) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167714711908014 × 6371000     		du = 51.2137048891277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40227720)-sin(-1.40228524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167722638020594-0.167714711908014)×R²
    abs(2.57306102-2.57301309)×7.92611257993681e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.92611257993681e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.92611257993681e-06×40589641000000     		ar = 2623.37339950268m²