Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119205 / 119193
↖ ↑ ↗
← S 81.265465°
E147.406311°		 ← 46.37 m → S 81.265465°
E147.409057°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.265883°
E147.406311°		 ← 46.37 m →
2 151 m²		 S 81.265883°
E147.409057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909465789794922 y=0.909374237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909465789794922 × 217)
    floor (0.909465789794922 × 131072)
    floor (119205.5)     		tx = 119205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909374237060547 × 217)
    floor (0.909374237060547 × 131072)
    floor (119193.5)     		ty = 119193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119205 / 119193 ti = "17/119205/119193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119205/119193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119205 ÷ 217
    119205 ÷ 131072     		x = 0.909461975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119193 ÷ 217
    119193 ÷ 131072     		y = 0.909370422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909461975097656 × 2 - 1) × π
    0.818923950195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.57272547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909370422363281 × 2 - 1) × π
    -0.818740844726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57215022291335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57272547} λ = 2.57272547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57215022291335))-π/2
    2×atan(0.0763711537431726)-π/2
    2×0.0762231915935196-π/2
    0.152446383187039-1.57079632675     		φ = -1.41834994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57272547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.406311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41834994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.265465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119205 KachelY 119193 2.57272547 -1.41834994 147.406311 -81.265465
    Oben rechts KachelX + 1 119206 KachelY 119193 2.57277340 -1.41834994 147.409057 -81.265465
    Unten links KachelX 119205 KachelY + 1 119194 2.57272547 -1.41835722 147.406311 -81.265883
    Unten rechts KachelX + 1 119206 KachelY + 1 119194 2.57277340 -1.41835722 147.409057 -81.265883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41834994--1.41835722) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dl = 46.3808800010508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41834994--1.41835722) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dr = 46.3808800010508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57272547-2.57277340) × cos(-1.41834994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151856599389978 × 6371000     		do = 46.3712394586488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57272547-2.57277340) × cos(-1.41835722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151849403815492 × 6371000     		du = 46.3690422034166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41834994)-sin(-1.41835722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151856599389978-0.151849403815492)×R²
    abs(2.57277340-2.57272547)×7.19557448644603e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.19557448644603e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.19557448644603e-06×40589641000000     		ar = 2150.68793745277m²