Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119204 / 117085
↖ ↑ ↗
← S 80.340879°
E147.403565°		 ← 51.25 m → S 80.340879°
E147.406311°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
S 80.341340°
E147.403565°		 ← 51.24 m →
2 625 m²		 S 80.341340°
E147.406311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909458160400391 y=0.893291473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909458160400391 × 217)
    floor (0.909458160400391 × 131072)
    floor (119204.5)     		tx = 119204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893291473388672 × 217)
    floor (0.893291473388672 × 131072)
    floor (117085.5)     		ty = 117085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119204 / 117085 ti = "17/119204/117085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119204/117085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119204 ÷ 217
    119204 ÷ 131072     		x = 0.909454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117085 ÷ 217
    117085 ÷ 131072     		y = 0.893287658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909454345703125 × 2 - 1) × π
    0.81890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57267753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893287658691406 × 2 - 1) × π
    -0.786575317382812 × 3.1415926535     		Φ = -2.47109923851427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57267753} λ = 2.57267753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47109923851427))-π/2
    2×atan(0.0844919311511191)-π/2
    2×0.0842917285546115-π/2
    0.168583457109223-1.57079632675     		φ = -1.40221287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57267753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40221287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.340879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119204 KachelY 117085 2.57267753 -1.40221287 147.403565 -80.340879
    Oben rechts KachelX + 1 119205 KachelY 117085 2.57272547 -1.40221287 147.406311 -80.340879
    Unten links KachelX 119204 KachelY + 1 117086 2.57267753 -1.40222091 147.403565 -80.341340
    Unten rechts KachelX + 1 119205 KachelY + 1 117086 2.57272547 -1.40222091 147.406311 -80.341340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40221287--1.40222091) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40221287--1.40222091) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57267753-2.57272547) × cos(-1.40221287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167786056389116 × 6371000     		do = 51.2461804342938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57267753-2.57272547) × cos(-1.40222091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167778130363299 × 6371000     		du = 51.2437596219934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40221287)-sin(-1.40222091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167786056389116-0.167778130363299)×R²
    abs(2.57272547-2.57267753)×7.92602581697888e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.92602581697888e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.92602581697888e-06×40589641000000     		ar = 2624.9129007307m²