Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119203 / 119197
↖ ↑ ↗
← S 81.267134°
E147.400818°		 ← 46.37 m → S 81.267134°
E147.403565°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.267551°
E147.400818°		 ← 46.37 m →
2 151 m²		 S 81.267551°
E147.403565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909450531005859 y=0.909404754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909450531005859 × 217)
    floor (0.909450531005859 × 131072)
    floor (119203.5)     		tx = 119203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909404754638672 × 217)
    floor (0.909404754638672 × 131072)
    floor (119197.5)     		ty = 119197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119203 / 119197 ti = "17/119203/119197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119203/119197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119203 ÷ 217
    119203 ÷ 131072     		x = 0.909446716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119197 ÷ 217
    119197 ÷ 131072     		y = 0.909400939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909446716308594 × 2 - 1) × π
    0.818893432617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.57262959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909400939941406 × 2 - 1) × π
    -0.818801879882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.57234197051183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57262959} λ = 2.57262959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57234197051183))-π/2
    2×atan(0.0763565111617339)-π/2
    2×0.0762086339042983-π/2
    0.152417267808597-1.57079632675     		φ = -1.41837906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57262959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.400818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41837906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.267134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119203 KachelY 119197 2.57262959 -1.41837906 147.400818 -81.267134
    Oben rechts KachelX + 1 119204 KachelY 119197 2.57267753 -1.41837906 147.403565 -81.267134
    Unten links KachelX 119203 KachelY + 1 119198 2.57262959 -1.41838634 147.400818 -81.267551
    Unten rechts KachelX + 1 119204 KachelY + 1 119198 2.57267753 -1.41838634 147.403565 -81.267551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41837906--1.41838634) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dl = 46.3808800010508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41837906--1.41838634) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dr = 46.3808800010508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57262959-2.57267753) × cos(-1.41837906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151827817043748 × 6371000     		do = 46.3721233731409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57262959-2.57267753) × cos(-1.41838634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151820621437072 × 6371000     		du = 46.3699256496473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41837906)-sin(-1.41838634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151827817043748-0.151820621437072)×R²
    abs(2.57267753-2.57262959)×7.19560667525321e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.19560667525321e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.19560667525321e-06×40589641000000     		ar = 2150.72892329957m²