Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1192 / 973
↖ ↑ ↗
← N  8.928487°
E 29.531250°		 ← 19.309 km → N  8.928487°
E 29.707031°		 →
↑
19.314 km
↓
↑
19.314 km
↓
N  8.754795°
E 29.531250°		 ← 19.318 km →
373.021 km²		 N  8.754795°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582275390625 y=0.475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582275390625 × 211)
    floor (0.582275390625 × 2048)
    floor (1192.5)     		tx = 1192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.475341796875 × 211)
    floor (0.475341796875 × 2048)
    floor (973.5)     		ty = 973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1192 / 973 ti = "11/1192/973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1192/973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1192 ÷ 211
    1192 ÷ 2048     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 973 ÷ 211
    973 ÷ 2048     		y = 0.47509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.156466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.156466040359863))-π/2
    2×atan(1.16937105022469)-π/2
    2×0.863313911627855-π/2
    1.72662782325571-1.57079632675     		φ = 0.15583150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15583150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.928487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1192 KachelY 973 0.51541754 0.15583150 29.531250 8.928487
    Oben rechts KachelX + 1 1193 KachelY 973 0.51848551 0.15583150 29.707031 8.928487
    Unten links KachelX 1192 KachelY + 1 974 0.51541754 0.15279999 29.531250 8.754795
    Unten rechts KachelX + 1 1193 KachelY + 1 974 0.51848551 0.15279999 29.707031 8.754795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15583150-0.15279999) × R
    0.00303151000000002 × 6371000     		dl = 19313.7502100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15583150-0.15279999) × R
    0.00303151000000002 × 6371000     		dr = 19313.7502100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51848551) × cos(0.15583150) × R
    0.00306797000000003 × 0.987882822184733 × 6371000     		do = 19309.1940656626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51848551) × cos(0.15279999) × R
    0.00306797000000003 × 0.988348777253828 × 6371000     		du = 19318.3016406229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15583150)-sin(0.15279999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987882822184733-0.988348777253828)×R²
    abs(0.51848551-0.51541754)×0.000465955069094748×R²
    0.00306797000000003×0.000465955069094748×6371000²
    0.00306797000000003×0.000465955069094748×40589641000000     		ar = 373021187.328269m²