Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1192 / 936
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 29.531250°		 ← 18.855 km → N 15.284185°
E 29.707031°		 →
↑
18.862 km
↓
↑
18.862 km
↓
N 15.114553°
E 29.531250°		 ← 18.870 km →
355.785 km²		 N 15.114553°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582275390625 y=0.457275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582275390625 × 211)
    floor (0.582275390625 × 2048)
    floor (1192.5)     		tx = 1192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457275390625 × 211)
    floor (0.457275390625 × 2048)
    floor (936.5)     		ty = 936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1192 / 936 ti = "11/1192/936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1192/936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1192 ÷ 211
    1192 ÷ 2048     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 936 ÷ 211
    936 ÷ 2048     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1192 KachelY 936 0.51541754 0.26675935 29.531250 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 1193 KachelY 936 0.51848551 0.26675935 29.707031 15.284185
    Unten links KachelX 1192 KachelY + 1 937 0.51541754 0.26379871 29.531250 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 1193 KachelY + 1 937 0.51848551 0.26379871 29.707031 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.26379871) × R
    0.00296064000000001 × 6371000     		dl = 18862.2374400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.26379871) × R
    0.00296064000000001 × 6371000     		dr = 18862.2374400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51848551) × cos(0.26675935) × R
    0.00306797000000003 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 18854.6977955511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51848551) × cos(0.26379871) × R
    0.00306797000000003 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 18869.8697423408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.965406433429109)×R²
    abs(0.51848551-0.51541754)×0.000776216012001063×R²
    0.00306797000000003×0.000776216012001063×6371000²
    0.00306797000000003×0.000776216012001063×40589641000000     		ar = 355785134.993487m²