Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1192 / 680
↖ ↑ ↗
← N 81.672424°
W127.617187°		 ← 707.72 m → N 81.672424°
W127.573242°		 →
↑
708.01 m
↓
↑
708.01 m
↓
N 81.666057°
W127.617187°		 ← 708.26 m →
501 264 m²		 N 81.666057°
W127.573242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14556884765625 y=0.08306884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14556884765625 × 213)
    floor (0.14556884765625 × 8192)
    floor (1192.5)     		tx = 1192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08306884765625 × 213)
    floor (0.08306884765625 × 8192)
    floor (680.5)     		ty = 680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1192 / 680 ti = "13/1192/680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1192/680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1192 ÷ 213
    1192 ÷ 8192     		x = 0.1455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 680 ÷ 213
    680 ÷ 8192     		y = 0.0830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    -0.708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22734010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830078125 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22734010} λ = -2.22734010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62003918563379))-π/2
    2×atan(13.736261838658)-π/2
    2×1.49812451881769-π/2
    2.99624903763539-1.57079632675     		φ = 1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22734010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1192 KachelY 680 -2.22734010 1.42545271 -127.617187 81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 1193 KachelY 680 -2.22657311 1.42545271 -127.573242 81.672424
    Unten links KachelX 1192 KachelY + 1 681 -2.22734010 1.42534158 -127.617187 81.666057
    Unten rechts KachelX + 1 1193 KachelY + 1 681 -2.22657311 1.42534158 -127.573242 81.666057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42545271-1.42534158) × R
    0.00011113000000007 × 6371000     		dl = 708.009230000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42545271-1.42534158) × R
    0.00011113000000007 × 6371000     		dr = 708.009230000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22734010--2.22657311) × cos(1.42545271) × R
    0.000766990000000245 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 707.722707247429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22734010--2.22657311) × cos(1.42534158) × R
    0.000766990000000245 × 0.144942389394114 × 6371000     		du = 708.260013211132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42545271)-sin(1.42534158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.144942389394114)×R²
    abs(-2.22657311--2.22734010)×0.000109957372662894×R²
    0.000766990000000245×0.000109957372662894×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109957372662894×40589641000000     		ar = 501264.418320378m²