Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11918 / 13744
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 49.064941°		 ← 1 080.19 m → N 27.839076°
W 49.053955°		 →
↑
1 080.27 m
↓
↑
1 080.27 m
↓
N 27.829361°
W 49.064941°		 ← 1 080.29 m →
1 166 950 m²		 N 27.829361°
W 49.053955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363723754882812 y=0.419448852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363723754882812 × 215)
    floor (0.363723754882812 × 32768)
    floor (11918.5)     		tx = 11918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419448852539062 × 215)
    floor (0.419448852539062 × 32768)
    floor (13744.5)     		ty = 13744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11918 / 13744 ti = "15/11918/13744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11918/13744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11918 ÷ 215
    11918 ÷ 32768     		x = 0.36370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13744 ÷ 215
    13744 ÷ 32768     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85634477} λ = -0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11918 KachelY 13744 -0.85634477 0.48588354 -49.064941 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 11919 KachelY 13744 -0.85615303 0.48588354 -49.053955 27.839076
    Unten links KachelX 11918 KachelY + 1 13745 -0.85634477 0.48571398 -49.064941 27.829361
    Unten rechts KachelX + 1 11919 KachelY + 1 13745 -0.85615303 0.48571398 -49.053955 27.829361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48571398) × R
    0.000169560000000013 × 6371000     		dl = 1080.26676000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48571398) × R
    0.000169560000000013 × 6371000     		dr = 1080.26676000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85634477--0.85615303) × cos(0.48588354) × R
    0.000191739999999996 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 1080.19367318592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85634477--0.85615303) × cos(0.48571398) × R
    0.000191739999999996 × 0.884341860203097 × 6371000     		du = 1080.29038542218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48571398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884341860203097)×R²
    abs(-0.85615303--0.85634477)×7.91700824834818e-05×R²
    0.000191739999999996×7.91700824834818e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.91700824834818e-05×40589641000000     		ar = 1166949.55980787m²