Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119179 / 117165
↖ ↑ ↗
← S 80.377677°
E147.334900°		 ← 51.04 m → S 80.377677°
E147.337646°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
S 80.378136°
E147.334900°		 ← 51.04 m →
2 605 m²		 S 80.378136°
E147.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909267425537109 y=0.893901824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909267425537109 × 217)
    floor (0.909267425537109 × 131072)
    floor (119179.5)     		tx = 119179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893901824951172 × 217)
    floor (0.893901824951172 × 131072)
    floor (117165.5)     		ty = 117165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119179 / 117165 ti = "17/119179/117165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119179/117165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119179 ÷ 217
    119179 ÷ 131072     		x = 0.909263610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117165 ÷ 217
    117165 ÷ 131072     		y = 0.893898010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909263610839844 × 2 - 1) × π
    0.818527221679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.57147911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893898010253906 × 2 - 1) × π
    -0.787796020507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.47493419048388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57147911} λ = 2.57147911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47493419048388))-π/2
    2×atan(0.0841685291652289)-π/2
    2×0.0839706102325564-π/2
    0.167941220465113-1.57079632675     		φ = -1.40285511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57147911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.334900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40285511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.377677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119179 KachelY 117165 2.57147911 -1.40285511 147.334900 -80.377677
    Oben rechts KachelX + 1 119180 KachelY 117165 2.57152704 -1.40285511 147.337646 -80.377677
    Unten links KachelX 119179 KachelY + 1 117166 2.57147911 -1.40286312 147.334900 -80.378136
    Unten rechts KachelX + 1 119180 KachelY + 1 117166 2.57152704 -1.40286312 147.337646 -80.378136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40285511--1.40286312) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40285511--1.40286312) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57147911-2.57152704) × cos(-1.40285511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167152886588066 × 6371000     		do = 51.0421447689227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57147911-2.57152704) × cos(-1.40286312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167144989275492 × 6371000     		du = 51.0397332295237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40285511)-sin(-1.40286312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167152886588066-0.167144989275492)×R²
    abs(2.57152704-2.57147911)×7.89731257361259e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.89731257361259e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.89731257361259e-06×40589641000000     		ar = 2604.70639708192m²