Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119177 / 117127
↖ ↑ ↗
← S 80.360216°
E147.329407°		 ← 51.14 m → S 80.360216°
E147.332153°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.360675°
E147.329407°		 ← 51.14 m →
2 613 m²		 S 80.360675°
E147.332153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909252166748047 y=0.893611907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909252166748047 × 217)
    floor (0.909252166748047 × 131072)
    floor (119177.5)     		tx = 119177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893611907958984 × 217)
    floor (0.893611907958984 × 131072)
    floor (117127.5)     		ty = 117127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119177 / 117127 ti = "17/119177/117127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119177/117127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119177 ÷ 217
    119177 ÷ 131072     		x = 0.909248352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117127 ÷ 217
    117127 ÷ 131072     		y = 0.893608093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909248352050781 × 2 - 1) × π
    0.818496704101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.57138323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893608093261719 × 2 - 1) × π
    -0.787216186523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.47311258829832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57138323} λ = 2.57138323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47311258829832))-π/2
    2×atan(0.0843219904722029)-π/2
    2×0.0841229900594104-π/2
    0.168245980118821-1.57079632675     		φ = -1.40255035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57138323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.329407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40255035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.360216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119177 KachelY 117127 2.57138323 -1.40255035 147.329407 -80.360216
    Oben rechts KachelX + 1 119178 KachelY 117127 2.57143117 -1.40255035 147.332153 -80.360216
    Unten links KachelX 119177 KachelY + 1 117128 2.57138323 -1.40255837 147.329407 -80.360675
    Unten rechts KachelX + 1 119178 KachelY + 1 117128 2.57143117 -1.40255837 147.332153 -80.360675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40255035--1.40255837) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40255035--1.40255837) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57138323-2.57143117) × cos(-1.40255035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167453351148758 × 6371000     		do = 51.1445636900556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57138323-2.57143117) × cos(-1.40255837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167445444385769 × 6371000     		du = 51.1421487611189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40255035)-sin(-1.40255837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167453351148758-0.167445444385769)×R²
    abs(2.57143117-2.57138323)×7.9067629883689e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.9067629883689e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.9067629883689e-06×40589641000000     		ar = 2613.19126633467m²