Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119175 / 117130
↖ ↑ ↗
← S 80.361595°
E147.323914°		 ← 51.14 m → S 80.361595°
E147.326660°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.362055°
E147.323914°		 ← 51.13 m →
2 613 m²		 S 80.362055°
E147.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909236907958984 y=0.893634796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909236907958984 × 217)
    floor (0.909236907958984 × 131072)
    floor (119175.5)     		tx = 119175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893634796142578 × 217)
    floor (0.893634796142578 × 131072)
    floor (117130.5)     		ty = 117130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119175 / 117130 ti = "17/119175/117130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119175/117130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119175 ÷ 217
    119175 ÷ 131072     		x = 0.909233093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117130 ÷ 217
    117130 ÷ 131072     		y = 0.893630981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909233093261719 × 2 - 1) × π
    0.818466186523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57128736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893630981445312 × 2 - 1) × π
    -0.787261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47325639899718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57128736} λ = 2.57128736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47325639899718))-π/2
    2×atan(0.0843098649397353)-π/2
    2×0.0841109501209804-π/2
    0.168221900241961-1.57079632675     		φ = -1.40257443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57128736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.323914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40257443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.361595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119175 KachelY 117130 2.57128736 -1.40257443 147.323914 -80.361595
    Oben rechts KachelX + 1 119176 KachelY 117130 2.57133530 -1.40257443 147.326660 -80.361595
    Unten links KachelX 119175 KachelY + 1 117131 2.57128736 -1.40258245 147.323914 -80.362055
    Unten rechts KachelX + 1 119176 KachelY + 1 117131 2.57133530 -1.40258245 147.326660 -80.362055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40257443--1.40258245) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40257443--1.40258245) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57128736-2.57133530) × cos(-1.40257443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167429611109802 × 6371000     		do = 51.1373128710898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57128736-2.57133530) × cos(-1.40258245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167421704314477 × 6371000     		du = 51.1348979322769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40257443)-sin(-1.40258245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167429611109802-0.167421704314477)×R²
    abs(2.57133530-2.57128736)×7.90679532414185e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90679532414185e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90679532414185e-06×40589641000000     		ar = 2612.82078263264m²