Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119172 / 118660
↖ ↑ ↗
← S 81.040328°
E147.315674°		 ← 47.56 m → S 81.040328°
E147.318420°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.040756°
E147.315674°		 ← 47.55 m →
2 263 m²		 S 81.040756°
E147.318420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909214019775391 y=0.905307769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909214019775391 × 217)
    floor (0.909214019775391 × 131072)
    floor (119172.5)     		tx = 119172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905307769775391 × 217)
    floor (0.905307769775391 × 131072)
    floor (118660.5)     		ty = 118660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119172 / 118660 ti = "17/119172/118660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119172/118660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119172 ÷ 217
    119172 ÷ 131072     		x = 0.909210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118660 ÷ 217
    118660 ÷ 131072     		y = 0.905303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909210205078125 × 2 - 1) × π
    0.81842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57114355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.81060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54659985541586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57114355} λ = 2.57114355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54659985541586))-π/2
    2×atan(0.0783476068173289)-π/2
    2×0.0781878863790203-π/2
    0.156375772758041-1.57079632675     		φ = -1.41442055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57114355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41442055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.040328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119172 KachelY 118660 2.57114355 -1.41442055 147.315674 -81.040328
    Oben rechts KachelX + 1 119173 KachelY 118660 2.57119148 -1.41442055 147.318420 -81.040328
    Unten links KachelX 119172 KachelY + 1 118661 2.57114355 -1.41442802 147.315674 -81.040756
    Unten rechts KachelX + 1 119173 KachelY + 1 118661 2.57119148 -1.41442802 147.318420 -81.040756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41442055--1.41442802) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41442055--1.41442802) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57114355-2.57119148) × cos(-1.41442055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15573923609712 × 6371000     		do = 47.5568492852948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57114355-2.57119148) × cos(-1.41442802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155731857240196 × 6371000     		du = 47.5545960625656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41442055)-sin(-1.41442802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15573923609712-0.155731857240196)×R²
    abs(2.57119148-2.57114355)×7.37885692328466e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.37885692328466e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.37885692328466e-06×40589641000000     		ar = 2263.2419933529m²