Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119172 / 117116
↖ ↑ ↗
← S 80.355155°
E147.315674°		 ← 51.16 m → S 80.355155°
E147.318420°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
S 80.355615°
E147.315674°		 ← 51.16 m →
2 621 m²		 S 80.355615°
E147.318420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909214019775391 y=0.893527984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909214019775391 × 217)
    floor (0.909214019775391 × 131072)
    floor (119172.5)     		tx = 119172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893527984619141 × 217)
    floor (0.893527984619141 × 131072)
    floor (117116.5)     		ty = 117116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119172 / 117116 ti = "17/119172/117116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119172/117116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119172 ÷ 217
    119172 ÷ 131072     		x = 0.909210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117116 ÷ 217
    117116 ÷ 131072     		y = 0.893524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909210205078125 × 2 - 1) × π
    0.81842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57114355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.78704833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4725852824025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57114355} λ = 2.57114355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4725852824025))-π/2
    2×atan(0.0843664656799153)-π/2
    2×0.084167151107679-π/2
    0.168334302215358-1.57079632675     		φ = -1.40246202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57114355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40246202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.355155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119172 KachelY 117116 2.57114355 -1.40246202 147.315674 -80.355155
    Oben rechts KachelX + 1 119173 KachelY 117116 2.57119148 -1.40246202 147.318420 -80.355155
    Unten links KachelX 119172 KachelY + 1 117117 2.57114355 -1.40247006 147.315674 -80.355615
    Unten rechts KachelX + 1 119173 KachelY + 1 117117 2.57119148 -1.40247006 147.318420 -80.355615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40246202--1.40247006) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40246202--1.40247006) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57114355-2.57119148) × cos(-1.40246202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167540433275828 × 6371000     		do = 51.1604868122178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57114355-2.57119148) × cos(-1.40247006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167532506914162 × 6371000     		du = 51.1580664023289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40246202)-sin(-1.40247006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167540433275828-0.167532506914162)×R²
    abs(2.57119148-2.57114355)×7.92636166635496e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.92636166635496e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.92636166635496e-06×40589641000000     		ar = 2620.52344030059m²