Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119171 / 118659
↖ ↑ ↗
← S 81.039901°
E147.312927°		 ← 47.57 m → S 81.039901°
E147.315674°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.040328°
E147.312927°		 ← 47.57 m →
2 261 m²		 S 81.040328°
E147.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909206390380859 y=0.905300140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909206390380859 × 217)
    floor (0.909206390380859 × 131072)
    floor (119171.5)     		tx = 119171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905300140380859 × 217)
    floor (0.905300140380859 × 131072)
    floor (118659.5)     		ty = 118659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119171 / 118659 ti = "17/119171/118659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119171/118659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119171 ÷ 217
    119171 ÷ 131072     		x = 0.909202575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118659 ÷ 217
    118659 ÷ 131072     		y = 0.905296325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909202575683594 × 2 - 1) × π
    0.818405151367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.57109561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905296325683594 × 2 - 1) × π
    -0.810592651367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.54655191851624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57109561} λ = 2.57109561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54655191851624))-π/2
    2×atan(0.0783513626487131)-π/2
    2×0.0781916192953683-π/2
    0.156383238590737-1.57079632675     		φ = -1.41441309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57109561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.312927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41441309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.039901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119171 KachelY 118659 2.57109561 -1.41441309 147.312927 -81.039901
    Oben rechts KachelX + 1 119172 KachelY 118659 2.57114355 -1.41441309 147.315674 -81.039901
    Unten links KachelX 119171 KachelY + 1 118660 2.57109561 -1.41442055 147.312927 -81.040328
    Unten rechts KachelX + 1 119172 KachelY + 1 118660 2.57114355 -1.41442055 147.315674 -81.040328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41441309--1.41442055) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41441309--1.41442055) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57109561-2.57114355) × cos(-1.41441309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155746605067382 × 6371000     		do = 47.5690221051617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57109561-2.57114355) × cos(-1.41442055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15573923609712 × 6371000     		du = 47.5667714319663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41441309)-sin(-1.41442055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155746605067382-0.15573923609712)×R²
    abs(2.57114355-2.57109561)×7.36897026257233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36897026257233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36897026257233e-06×40589641000000     		ar = 2260.79082458125m²