Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119170 / 119170
↖ ↑ ↗
← S 81.255867°
E147.310180°		 ← 46.43 m → S 81.255867°
E147.312927°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
S 81.256285°
E147.310180°		 ← 46.43 m →
2 156 m²		 S 81.256285°
E147.312927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909198760986328 y=0.909198760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909198760986328 × 217)
    floor (0.909198760986328 × 131072)
    floor (119170.5)     		tx = 119170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909198760986328 × 217)
    floor (0.909198760986328 × 131072)
    floor (119170.5)     		ty = 119170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119170 / 119170 ti = "17/119170/119170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119170/119170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119170 ÷ 217
    119170 ÷ 131072     		x = 0.909194946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119170 ÷ 217
    119170 ÷ 131072     		y = 0.909194946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909194946289062 × 2 - 1) × π
    0.818389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57104767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909194946289062 × 2 - 1) × π
    -0.818389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57104767422209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57104767} λ = 2.57104767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57104767422209))-π/2
    2×atan(0.0764554030947538)-π/2
    2×0.0763069518697112-π/2
    0.152613903739422-1.57079632675     		φ = -1.41818242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57104767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.310180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41818242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.255867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119170 KachelY 119170 2.57104767 -1.41818242 147.310180 -81.255867
    Oben rechts KachelX + 1 119171 KachelY 119170 2.57109561 -1.41818242 147.312927 -81.255867
    Unten links KachelX 119170 KachelY + 1 119171 2.57104767 -1.41818971 147.310180 -81.256285
    Unten rechts KachelX + 1 119171 KachelY + 1 119171 2.57109561 -1.41818971 147.312927 -81.256285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41818242--1.41818971) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dl = 46.4445900006636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41818242--1.41818971) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dr = 46.4445900006636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57104767-2.57109561) × cos(-1.41818242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152022174451266 × 6371000     		do = 46.4314851281567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57104767-2.57109561) × cos(-1.41818971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152014969178291 × 6371000     		du = 46.4292844523262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41818242)-sin(-1.41818971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152022174451266-0.152014969178291)×R²
    abs(2.57109561-2.57104767)×7.20527297565221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.20527297565221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.20527297565221e-06×40589641000000     		ar = 2156.44018519898m²