Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119169 / 117119
↖ ↑ ↗
← S 80.356536°
E147.307434°		 ← 51.15 m → S 80.356536°
E147.310180°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
S 80.356996°
E147.307434°		 ← 51.15 m →
2 617 m²		 S 80.356996°
E147.310180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909191131591797 y=0.893550872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909191131591797 × 217)
    floor (0.909191131591797 × 131072)
    floor (119169.5)     		tx = 119169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893550872802734 × 217)
    floor (0.893550872802734 × 131072)
    floor (117119.5)     		ty = 117119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119169 / 117119 ti = "17/119169/117119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119169/117119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119169 ÷ 217
    119169 ÷ 131072     		x = 0.909187316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117119 ÷ 217
    117119 ÷ 131072     		y = 0.893547058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909187316894531 × 2 - 1) × π
    0.818374633789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.57099974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893547058105469 × 2 - 1) × π
    -0.787094116210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.47272909310136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57099974} λ = 2.57099974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47272909310136))-π/2
    2×atan(0.0843543337518969)-π/2
    2×0.0841551049085694-π/2
    0.168310209817139-1.57079632675     		φ = -1.40248612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57099974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.307434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40248612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.356536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119169 KachelY 117119 2.57099974 -1.40248612 147.307434 -80.356536
    Oben rechts KachelX + 1 119170 KachelY 117119 2.57104767 -1.40248612 147.310180 -80.356536
    Unten links KachelX 119169 KachelY + 1 117120 2.57099974 -1.40249415 147.307434 -80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 119170 KachelY + 1 117120 2.57104767 -1.40249415 147.310180 -80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40248612--1.40249415) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40248612--1.40249415) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57099974-2.57104767) × cos(-1.40248612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167516673875726 × 6371000     		do = 51.1532315935709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57099974-2.57104767) × cos(-1.40249415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 51.1508141842443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40248612)-sin(-1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167516673875726-0.167508757340305)×R²
    abs(2.57104767-2.57099974)×7.91653542075998e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.91653542075998e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.91653542075998e-06×40589641000000     		ar = 2616.89298858783m²