Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119168 / 118656
↖ ↑ ↗
← S 81.038617°
E147.304687°		 ← 47.58 m → S 81.038617°
E147.307434°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.039045°
E147.304687°		 ← 47.57 m →
2 264 m²		 S 81.039045°
E147.307434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909183502197266 y=0.905277252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909183502197266 × 217)
    floor (0.909183502197266 × 131072)
    floor (119168.5)     		tx = 119168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905277252197266 × 217)
    floor (0.905277252197266 × 131072)
    floor (118656.5)     		ty = 118656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119168 / 118656 ti = "17/119168/118656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119168/118656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119168 ÷ 217
    119168 ÷ 131072     		x = 0.9091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118656 ÷ 217
    118656 ÷ 131072     		y = 0.9052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57095180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    -0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57095180} λ = 2.57095180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54640810781738))-π/2
    2×atan(0.0783626312231836)-π/2
    2×0.0782028191050348-π/2
    0.15640563821007-1.57079632675     		φ = -1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57095180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119168 KachelY 118656 2.57095180 -1.41439069 147.304687 -81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 119169 KachelY 118656 2.57099974 -1.41439069 147.307434 -81.038617
    Unten links KachelX 119168 KachelY + 1 118657 2.57095180 -1.41439816 147.304687 -81.039045
    Unten rechts KachelX + 1 119169 KachelY + 1 118657 2.57099974 -1.41439816 147.307434 -81.039045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41439069--1.41439816) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41439069--1.41439816) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57095180-2.57099974) × cos(-1.41439069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 47.5757801428155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57095180-2.57099974) × cos(-1.41439816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155761352859852 × 6371000     		du = 47.5735264605901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41439069)-sin(-1.41439816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155761352859852)×R²
    abs(2.57099974-2.57095180)×7.37882218251884e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37882218251884e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37882218251884e-06×40589641000000     		ar = 2264.14292774065m²