Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119167 / 118657
↖ ↑ ↗
← S 81.039045°
E147.301941°		 ← 47.57 m → S 81.039045°
E147.304687°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.039473°
E147.301941°		 ← 47.57 m →
2 261 m²		 S 81.039473°
E147.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909175872802734 y=0.905284881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909175872802734 × 217)
    floor (0.909175872802734 × 131072)
    floor (119167.5)     		tx = 119167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905284881591797 × 217)
    floor (0.905284881591797 × 131072)
    floor (118657.5)     		ty = 118657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119167 / 118657 ti = "17/119167/118657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119167/118657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119167 ÷ 217
    119167 ÷ 131072     		x = 0.909172058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118657 ÷ 217
    118657 ÷ 131072     		y = 0.905281066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909172058105469 × 2 - 1) × π
    0.818344116210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57090386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905281066894531 × 2 - 1) × π
    -0.810562133789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.546456044717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57090386} λ = 2.57090386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.546456044717))-π/2
    2×atan(0.0783588748516318)-π/2
    2×0.0781990856583674-π/2
    0.156398171316735-1.57079632675     		φ = -1.41439816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57090386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.301941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41439816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.039045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119167 KachelY 118657 2.57090386 -1.41439816 147.301941 -81.039045
    Oben rechts KachelX + 1 119168 KachelY 118657 2.57095180 -1.41439816 147.304687 -81.039045
    Unten links KachelX 119167 KachelY + 1 118658 2.57090386 -1.41440562 147.301941 -81.039473
    Unten rechts KachelX + 1 119168 KachelY + 1 118658 2.57095180 -1.41440562 147.304687 -81.039473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41439816--1.41440562) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41439816--1.41440562) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57090386-2.57095180) × cos(-1.41439816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155761352859852 × 6371000     		do = 47.5735264605901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57090386-2.57095180) × cos(-1.41440562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155753983906936 × 6371000     		du = 47.5712757926928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41439816)-sin(-1.41440562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155761352859852-0.155753983906936)×R²
    abs(2.57095180-2.57090386)×7.36895291544859e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36895291544859e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36895291544859e-06×40589641000000     		ar = 2261.0049060896m²