Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119167 / 117118
↖ ↑ ↗
← S 80.356075°
E147.301941°		 ← 51.17 m → S 80.356075°
E147.304687°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
S 80.356536°
E147.301941°		 ← 51.16 m →
2 618 m²		 S 80.356536°
E147.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909175872802734 y=0.893543243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909175872802734 × 217)
    floor (0.909175872802734 × 131072)
    floor (119167.5)     		tx = 119167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893543243408203 × 217)
    floor (0.893543243408203 × 131072)
    floor (117118.5)     		ty = 117118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119167 / 117118 ti = "17/119167/117118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119167/117118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119167 ÷ 217
    119167 ÷ 131072     		x = 0.909172058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117118 ÷ 217
    117118 ÷ 131072     		y = 0.893539428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909172058105469 × 2 - 1) × π
    0.818344116210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57090386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893539428710938 × 2 - 1) × π
    -0.787078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47268115620174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57090386} λ = 2.57090386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47268115620174))-π/2
    2×atan(0.0843583775340489)-π/2
    2×0.0841591201185086-π/2
    0.168318240237017-1.57079632675     		φ = -1.40247809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57090386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.301941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40247809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.356075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119167 KachelY 117118 2.57090386 -1.40247809 147.301941 -80.356075
    Oben rechts KachelX + 1 119168 KachelY 117118 2.57095180 -1.40247809 147.304687 -80.356075
    Unten links KachelX 119167 KachelY + 1 117119 2.57090386 -1.40248612 147.301941 -80.356536
    Unten rechts KachelX + 1 119168 KachelY + 1 117119 2.57095180 -1.40248612 147.304687 -80.356536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40247809--1.40248612) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40247809--1.40248612) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57090386-2.57095180) × cos(-1.40247809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167524590400345 × 6371000     		do = 51.1663219911887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57090386-2.57095180) × cos(-1.40248612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167516673875726 × 6371000     		du = 51.1639040807987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40247809)-sin(-1.40248612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167524590400345-0.167516673875726)×R²
    abs(2.57095180-2.57090386)×7.91652461912262e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.91652461912262e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.91652461912262e-06×40589641000000     		ar = 2617.56266949603m²