Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119165 / 117129
↖ ↑ ↗
← S 80.361135°
E147.296448°		 ← 51.14 m → S 80.361135°
E147.299195°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
S 80.361595°
E147.296448°		 ← 51.14 m →
2 616 m²		 S 80.361595°
E147.299195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909160614013672 y=0.893627166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909160614013672 × 217)
    floor (0.909160614013672 × 131072)
    floor (119165.5)     		tx = 119165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893627166748047 × 217)
    floor (0.893627166748047 × 131072)
    floor (117129.5)     		ty = 117129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119165 / 117129 ti = "17/119165/117129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119165/117129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119165 ÷ 217
    119165 ÷ 131072     		x = 0.909156799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117129 ÷ 217
    117129 ÷ 131072     		y = 0.893623352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909156799316406 × 2 - 1) × π
    0.818313598632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.57080799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893623352050781 × 2 - 1) × π
    -0.787246704101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.47320846209756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57080799} λ = 2.57080799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47320846209756))-π/2
    2×atan(0.0843139065901393)-π/2
    2×0.0841149632441222-π/2
    0.168229926488244-1.57079632675     		φ = -1.40256640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57080799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.296448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40256640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.361135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119165 KachelY 117129 2.57080799 -1.40256640 147.296448 -80.361135
    Oben rechts KachelX + 1 119166 KachelY 117129 2.57085593 -1.40256640 147.299195 -80.361135
    Unten links KachelX 119165 KachelY + 1 117130 2.57080799 -1.40257443 147.296448 -80.361595
    Unten rechts KachelX + 1 119166 KachelY + 1 117130 2.57085593 -1.40257443 147.299195 -80.361595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40256640--1.40257443) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40256640--1.40257443) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57080799-2.57085593) × cos(-1.40256640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167437527753184 × 6371000     		do = 51.1397308177531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57080799-2.57085593) × cos(-1.40257443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167429611109802 × 6371000     		du = 51.1373128710898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40256640)-sin(-1.40257443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167437527753184-0.167429611109802)×R²
    abs(2.57085593-2.57080799)×7.91664338203879e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.91664338203879e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.91664338203879e-06×40589641000000     		ar = 2616.20228703152m²