Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119164 / 117148
↖ ↑ ↗
← S 80.369869°
E147.293701°		 ← 51.09 m → S 80.369869°
E147.296448°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.370328°
E147.293701°		 ← 51.09 m →
2 611 m²		 S 80.370328°
E147.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909152984619141 y=0.893772125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909152984619141 × 217)
    floor (0.909152984619141 × 131072)
    floor (119164.5)     		tx = 119164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893772125244141 × 217)
    floor (0.893772125244141 × 131072)
    floor (117148.5)     		ty = 117148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119164 / 117148 ti = "17/119164/117148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119164/117148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119164 ÷ 217
    119164 ÷ 131072     		x = 0.909149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117148 ÷ 217
    117148 ÷ 131072     		y = 0.893768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    0.81829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57076005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.78753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47411926319034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57076005} λ = 2.57076005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47411926319034))-π/2
    2×atan(0.0842371483529298)-π/2
    2×0.0840387463272759-π/2
    0.168077492654552-1.57079632675     		φ = -1.40271883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57076005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40271883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.369869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119164 KachelY 117148 2.57076005 -1.40271883 147.293701 -80.369869
    Oben rechts KachelX + 1 119165 KachelY 117148 2.57080799 -1.40271883 147.296448 -80.369869
    Unten links KachelX 119164 KachelY + 1 117149 2.57076005 -1.40272685 147.293701 -80.370328
    Unten rechts KachelX + 1 119165 KachelY + 1 117149 2.57080799 -1.40272685 147.296448 -80.370328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40271883--1.40272685) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40271883--1.40272685) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57076005-2.57080799) × cos(-1.40271883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167287247710452 × 6371000     		do = 51.0938314244945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57076005-2.57080799) × cos(-1.40272685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167279340721316 × 6371000     		du = 51.0914164264866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40271883)-sin(-1.40272685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167287247710452-0.167279340721316)×R²
    abs(2.57080799-2.57076005)×7.90698913558097e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90698913558097e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90698913558097e-06×40589641000000     		ar = 2610.59907833281m²