Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119164 / 117140
↖ ↑ ↗
← S 80.366193°
E147.293701°		 ← 51.11 m → S 80.366193°
E147.296448°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
S 80.366652°
E147.293701°		 ← 51.11 m →
2 612 m²		 S 80.366652°
E147.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909152984619141 y=0.893711090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909152984619141 × 217)
    floor (0.909152984619141 × 131072)
    floor (119164.5)     		tx = 119164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893711090087891 × 217)
    floor (0.893711090087891 × 131072)
    floor (117140.5)     		ty = 117140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119164 / 117140 ti = "17/119164/117140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119164/117140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119164 ÷ 217
    119164 ÷ 131072     		x = 0.909149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117140 ÷ 217
    117140 ÷ 131072     		y = 0.893707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    0.81829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57076005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.78741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47373576799338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57076005} λ = 2.57076005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47373576799338))-π/2
    2×atan(0.084269459089839)-π/2
    2×0.08407082931924-π/2
    0.16814165863848-1.57079632675     		φ = -1.40265467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57076005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40265467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.366193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119164 KachelY 117140 2.57076005 -1.40265467 147.293701 -80.366193
    Oben rechts KachelX + 1 119165 KachelY 117140 2.57080799 -1.40265467 147.296448 -80.366193
    Unten links KachelX 119164 KachelY + 1 117141 2.57076005 -1.40266269 147.293701 -80.366652
    Unten rechts KachelX + 1 119165 KachelY + 1 117141 2.57080799 -1.40266269 147.296448 -80.366652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40265467--1.40266269) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40265467--1.40266269) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57076005-2.57080799) × cos(-1.40265467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167350503236133 × 6371000     		do = 51.1131512902349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57076005-2.57080799) × cos(-1.40266269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167342596333092 × 6371000     		du = 51.1107363185223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40265467)-sin(-1.40266269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167350503236133-0.167342596333092)×R²
    abs(2.57080799-2.57076005)×7.9069030414769e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.9069030414769e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.9069030414769e-06×40589641000000     		ar = 2611.58623583127m²